Sylowsätze < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Mi 10.02.2010 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe mit 12 Elementen.
a) Kann G sowohl eine Untergruppe isomorph zu [mm] \IZ/4 [/mm] als auch eine Untergruppe isomorph zu [mm] \IZ/2 [/mm] x [mm] \IZ/2 [/mm] enthalten?
b) Enthält G eine normale Sylogruppe?
|
zu a)
Sei H eine 2-Sylogruppe.
Ich nehme an, dass H [mm] \cong \IZ/4.
[/mm]
H ist abelsch, also gilt, dass [mm] sHs^{-1} [/mm] = H für s [mm] \in [/mm] G.
Also ist H ein Normalteiler. Daraus folgt, dass nur EINE 2-Sylogruppe existiert. Also kann nicht auch gleichzeitig [mm] \IZ/2 [/mm] x [mm] \IZ/2 [/mm] enthalten sein.
Kann ich so argumentieren? Ist H wirklich ein Normalteiler von G? Genügt es einfach zu sagen, dass H abelsch ist? Mir ist klar, dass wenn G ablesch ist, dass dann jede Untergruppe von G auch abelsch ist und also Normalteiler. Aber hier brauche ich nun ja die andere Richtung. Geht dies auch?
b)
Ja, wenn ich zeigen kann, dass der Fall [mm] N_2 [/mm] = 3 und [mm] N_3 [/mm] = 4 nicht auftritt. Wobei [mm] N_p [/mm] die Anzahl der p-Sylogruppen ist.
Ich nehme nun an, dass 4 3-Sylogruppen [mm] H_i [/mm] existieren. Sei H die Vereinigung dieser 3-Sylogruppen. Da [mm] #H_i [/mm] = 3 prim ist, folgt dass #H = 9 ist.
Nun weiss ich nicht mehr weiter.
Da die Ordnung der 2-Sylogruppen 4 ist und deshalb nicht prim, kann ich doch nicht eifach annehmen, dass diese nur das neutrale Element gemeinsam haben mit den 3-Sylogruppen, oder?
Wie kann ich nun genau weitermachen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mi 10.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei G eine Gruppe mit 12 Elementen.
>
> a) Kann G sowohl eine Untergruppe isomorph zu [mm]\IZ/4[/mm] als
> auch eine Untergruppe isomorph zu [mm]\IZ/2[/mm] x [mm]\IZ/2[/mm] enthalten?
>
> b) Enthält G eine normale Sylogruppe?
>
>
> zu a)
>
> Sei H eine 2-Sylogruppe.
> Ich nehme an, dass H [mm]\cong \IZ/4.[/mm]
>
> H ist abelsch, also gilt, dass [mm]sHs^{-1}[/mm] = H für s [mm]\in[/mm] G.
Das ist doch Quark: da steht doch nirgendwo, dass $G$ abelsch ist. Deswegen gilt $s H [mm] s^{-1} [/mm] = H$ erstmal nur fuer $s [mm] \in [/mm] H$ -- fuer die ist's jedoch wiederum trivial und voellig unabhaengig davon, ob $H$ abelsch ist oder nicht.
> Kann ich so argumentieren?
Nein.
> Ist H wirklich ein Normalteiler von G?
A priori, nein. Wenn doch, muesste man das erstmal beweisen.
Was du fuer diese Aufgabe brauchst, ist die Konjugiertheit von Sylow-Untergruppen.
> b)
>
> Ja, wenn ich zeigen kann, dass der Fall [mm]N_2[/mm] = 3 und [mm]N_3[/mm] = 4
> nicht auftritt. Wobei [mm]N_p[/mm] die Anzahl der p-Sylogruppen
> ist.
>
> Ich nehme nun an, dass 4 3-Sylogruppen [mm]H_i[/mm] existieren. Sei
> H die Vereinigung dieser 3-Sylogruppen. Da [mm]#H_i[/mm] = 3 prim
> ist, folgt dass #H = 9 ist.
>
> Nun weiss ich nicht mehr weiter.
Also bleiben 12 - 9 = 3 Elemente, die weder Ordnung 1 noch 3 haben. Die restlichen Elemente haben also Ordnung 2 oder 4. Wieviele 2-Sylow-Untergruppen (mit jeweils 4 Elementen), abzueglich deren Identitaet, bekommst du in diese drei Elemente rein?
> Da die Ordnung der 2-Sylogruppen 4 ist und deshalb nicht
> prim, kann ich doch nicht eifach annehmen, dass diese nur
> das neutrale Element gemeinsam haben mit den 3-Sylogruppen,
> oder?
Nein, kannst du nicht. Aber sie haben hoechstens zwei Elemente gemeinsam: wenn sie drei Elemente gemeinsam haben, folgt aus Lagrange, dass sie gleich sein muessen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mi 10.02.2010 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
> > Sei G eine Gruppe mit 12 Elementen.
> >
> > a) Kann G sowohl eine Untergruppe isomorph zu [mm]\IZ/4[/mm] als
> > auch eine Untergruppe isomorph zu [mm]\IZ/2[/mm] x [mm]\IZ/2[/mm] enthalten?
> >
> > b) Enthält G eine normale Sylogruppe?
> >
> >
> > zu a)
> >
> > Sei H eine 2-Sylogruppe.
> > Ich nehme an, dass H [mm]\cong \IZ/4.[/mm]
> >
> > H ist abelsch, also gilt, dass [mm]sHs^{-1}[/mm] = H für s [mm]\in[/mm] G.
>
> Das ist doch Quark: da steht doch nirgendwo, dass [mm]G[/mm] abelsch
> ist. Deswegen gilt [mm]s H s^{-1} = H[/mm] erstmal nur fuer [mm]s \in H[/mm]
> -- fuer die ist's jedoch wiederum trivial und voellig
> unabhaengig davon, ob [mm]H[/mm] abelsch ist oder nicht.
Aber wenn ich nun annehme, dass H [mm] \cong \IZ/4 [/mm] ist, ist doch H dann zyklisch und insbesondere abelsch, oder? Klar, der Rest den ich hingeschrieben habe stimmt nicht...
> > Kann ich so argumentieren?
>
> Nein.
>
> > Ist H wirklich ein Normalteiler von G?
>
> A priori, nein. Wenn doch, muesste man das erstmal
> beweisen.
>
> Was du fuer diese Aufgabe brauchst, ist die Konjugiertheit
> von Sylow-Untergruppen.
Ok, dann versuche ichs mal so:
Sei H wiederum [mm] \cong \IZ/4.
[/mm]
Ich nehme an, es gäbe eine weitere 2-Sylogruppe [mm] J=\IZ/2 [/mm] x [mm] \IZ/2.
[/mm]
Dann müsste aber gelten, dass [mm] sHs^{-1} [/mm] = J.
Doch dies kann nicht sein, oder?
Kann ich dies noch explizit zeigen?
>
> > b)
> >
> > Ja, wenn ich zeigen kann, dass der Fall [mm]N_2[/mm] = 3 und [mm]N_3[/mm] = 4
> > nicht auftritt. Wobei [mm]N_p[/mm] die Anzahl der p-Sylogruppen
> > ist.
> >
> > Ich nehme nun an, dass 4 3-Sylogruppen [mm]H_i[/mm] existieren. Sei
> > H die Vereinigung dieser 3-Sylogruppen. Da [mm]#H_i[/mm] = 3 prim
> > ist, folgt dass #H = 9 ist.
> >
> > Nun weiss ich nicht mehr weiter.
>
> Also bleiben 12 - 9 = 3 Elemente, die weder Ordnung 1 noch
> 3 haben. Die restlichen Elemente haben also Ordnung 2 oder
> 4. Wieviele 2-Sylow-Untergruppen (mit jeweils 4 Elementen),
> abzueglich deren Identitaet, bekommst du in diese drei
> Elemente rein?
Weshalb haben diese übrigen Elemente weder Ordnung 1 noch 3.
Also Ordnung 1 kann nicht sein, da es sonst die Einheit wäre.
Aber weshalb nicht 3?
Es muss ja nicht heissen, dass dies übrigen Elemente in einer Gruppe mit Ordnung 4 sein müssen.
>
> > Da die Ordnung der 2-Sylogruppen 4 ist und deshalb nicht
> > prim, kann ich doch nicht eifach annehmen, dass diese nur
> > das neutrale Element gemeinsam haben mit den 3-Sylogruppen,
> > oder?
>
> Nein, kannst du nicht. Aber sie haben hoechstens zwei
> Elemente gemeinsam: wenn sie drei Elemente gemeinsam haben,
> folgt aus Lagrange, dass sie gleich sein muessen.
>
> LG Felix
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Mi 10.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Aber wenn ich nun annehme, dass H [mm]\cong \IZ/4[/mm] ist, ist doch
> H dann zyklisch und insbesondere abelsch, oder? Klar, der
> Rest den ich hingeschrieben habe stimmt nicht...
Ja, aber - so what?
> Ok, dann versuche ichs mal so:
> Sei H wiederum [mm]\cong \IZ/4.[/mm]
> Ich nehme an, es gäbe eine
> weitere 2-Sylogruppe [mm]J=\IZ/2[/mm] x [mm]\IZ/2.[/mm]
Holprig - warum sind denn H und J Sylow-Gruppen? Anders: wenn es die beiden als Untergruppen gäbe, so wären sie beide Sylowgruppen. Warum?
> Dann müsste aber gelten, dass [mm]sHs^{-1}[/mm] = J.
Es müsste ein sgeben, so dass ...
> Doch dies kann nicht sein, oder?
Stimmt, warum nicht? Sind J und H denn isomorph?
> Kann ich dies noch explizit zeigen?
Was explizit zeigen? Warum es nicht sein kann?
> Weshalb haben diese übrigen Elemente weder Ordnung 1 noch
> 3.
> Aber weshalb nicht 3?
Weil mit Ordnung 3 sie in einer 3-Sylowgruppe wären.
> Es muss ja nicht heissen, dass dies übrigen Elemente in
> einer Gruppe mit Ordnung 4 sein müssen.
Doch, das folgt dann zwangsläufig - es gibt ja noch eine Gruppe der Ordnung 4.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:48 Do 11.02.2010 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
> > Aber wenn ich nun annehme, dass H [mm]\cong \IZ/4[/mm] ist, ist doch
> > H dann zyklisch und insbesondere abelsch, oder? Klar, der
> > Rest den ich hingeschrieben habe stimmt nicht...
>
> Ja, aber - so what?
>
> > Ok, dann versuche ichs mal so:
> > Sei H wiederum [mm]\cong \IZ/4.[/mm]
> > Ich nehme an, es gäbe
> eine
> > weitere 2-Sylogruppe [mm]J=\IZ/2[/mm] x [mm]\IZ/2.[/mm]
>
> Holprig - warum sind denn H und J Sylow-Gruppen? Anders:
> wenn es die beiden als Untergruppen gäbe, so wären sie
> beide Sylowgruppen. Warum?
>
> > Dann müsste aber gelten, dass [mm]sHs^{-1}[/mm] = J.
>
> Es müsste ein sgeben, so dass ...
>
> > Doch dies kann nicht sein, oder?
>
> Stimmt, warum nicht? Sind J und H denn isomorph?
Also J und H sind nicht isomorph. Aber was bringt mich dies weiter?
Weshalb gibt es also kein s, so dass [mm] sHs^{-1} [/mm] = J ?
> > Weshalb haben diese übrigen Elemente weder Ordnung 1 noch
> > 3.
> > Aber weshalb nicht 3?
>
> Weil mit Ordnung 3 sie in einer 3-Sylowgruppe wären.
>
> > Es muss ja nicht heissen, dass dies übrigen Elemente in
> > einer Gruppe mit Ordnung 4 sein müssen.
>
> Doch, das folgt dann zwangsläufig - es gibt ja noch eine
> Gruppe der Ordnung 4.
Ok, ich glaube bei diesem Schritt blicke ich nun lansam durch.
Die 2-Sylowgruppen und die 3-Sylowgruppen können nur das Einselement gemeinsam haben, wegen Lagrange.
Denn die Elemente aus den 2-Sylogruppen müssen 4 teilen. Also können dies nur Elemente mit Ordnung 4 , 2 oder 1 sein.
Die Elemente aus den 3-Sylowgruppen müssen 3 teilen. Also können dies nur Elemente mit Ordnung 3 oder 1 sein.
Daraus folgt, dass nur das Einselement gemeinsam ist bei diesen Sylowgruppen. Stimmt diese Argumentation?
Also müssen die 3 übriggebliebenen Elemente zwangsweise in der 2-Sylowgruppe sein. Korrekt?
Allgemein kann man aber nicht sagen, dass jedes Element einer Gruppe in einer Sylowgruppe enthalten sein muss. In diesem Fall hier, ists aber so..., oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:12 Do 11.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also J und H sind nicht isomorph. Aber was bringt mich dies
> weiter?
Damit findest du einen Widerspruch
> Weshalb gibt es also kein s, so dass [mm]sHs^{-1}[/mm] = J ?
Naja, das wäre in innerer Automoprhismus - also müssten sie isom. sein.
> Die 2-Sylowgruppen und die 3-Sylowgruppen können nur das
> Einselement gemeinsam haben, wegen Lagrange.
> Denn die Elemente aus den 2-Sylogruppen müssen 4 teilen.
> Also können dies nur Elemente mit Ordnung 4 , 2 oder 1
> sein.
Ja.
> Die Elemente aus den 3-Sylowgruppen müssen 3 teilen. Also
> können dies nur Elemente mit Ordnung 3 oder 1 sein.
> Daraus folgt, dass nur das Einselement gemeinsam ist bei
> diesen Sylowgruppen. Stimmt diese Argumentation?
Die stimmt allgemien für alle Sylowgruppen.
> Also müssen die 3 übriggebliebenen Elemente zwangsweise
> in der 2-Sylowgruppe sein. Korrekt?
Nun ja, du hast eine 2-Sylowgruppe, die hat 4 elemente mit neutralem Element. Du hast noch 3 Elemente in der Gruppe überig ...
> Allgemein kann man aber nicht sagen, dass jedes Element
> einer Gruppe in einer Sylowgruppe enthalten sein muss.
Das ist grob falsch. Du kannst dir ja ein einfaches Beispiel dazu machen mit einer zyklischen Gruppe.
> In
> diesem Fall hier, ists aber so..., oder?
Wenn du 4 3-Sylowgruppen hast, dann ja.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:37 Do 11.02.2010 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
> > Also J und H sind nicht isomorph. Aber was bringt mich dies
> > weiter?
>
> Damit findest du einen Widerspruch
>
> > Weshalb gibt es also kein s, so dass [mm]sHs^{-1}[/mm] = J ?
>
> Naja, das wäre in innerer Automoprhismus - also müssten
> sie isom. sein.
Also dies sehe ich noch nicht genau. Wo ist hier genau der Automorphismus?
Von H nach J? Und wie sieht diese Automorphismusabbildung denn genau aus?
>
> > Die 2-Sylowgruppen und die 3-Sylowgruppen können nur das
> > Einselement gemeinsam haben, wegen Lagrange.
> > Denn die Elemente aus den 2-Sylogruppen müssen 4
> teilen.
> > Also können dies nur Elemente mit Ordnung 4 , 2 oder 1
> > sein.
>
> Ja.
>
> > Die Elemente aus den 3-Sylowgruppen müssen 3 teilen. Also
> > können dies nur Elemente mit Ordnung 3 oder 1 sein.
> > Daraus folgt, dass nur das Einselement gemeinsam ist
> bei
> > diesen Sylowgruppen. Stimmt diese Argumentation?
>
> Die stimmt allgemien für alle Sylowgruppen.
Ist dies wirklich so? Ich habe gemeint, dass dies nur gilt, falls die Ordnung der Sylowgruppe prim ist.
Es kann doch sein, dass zwei Sylowgruppen mehr als nur das Einselement gemeinsam haben?
Zitat von felixf (siehe weiter oben): "...sie haben hoechstens zwei Elemente gemeinsam: wenn sie drei Elemente gemeinsam haben, folgt aus Lagrange, dass sie gleich sein muessen. "
Es könnte also nach dieser Aussage auch sein, dass die Sylowgruppen mehrere Elemente gemeinsam haben...?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:46 Do 11.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also dies sehe ich noch nicht genau. Wo ist hier genau der
> Automorphismus?
[m]x\mapsto s*x*s^{-1}[/m].
> Von H nach J? Und wie sieht diese Automorphismusabbildung
> denn genau aus?
![[]](/images/popup.gif) Innerer Automorphismus
> Ist dies wirklich so? Ich habe gemeint, dass dies nur gilt,
> falls die Ordnung der Sylowgruppe prim ist.
Also zwei Sylowgruppen zu unterschiedlichen (!) Primzahlordnungen. So meinte ich das im Konext.
> Es kann doch sein, dass zwei Sylowgruppen mehr als nur das
> Einselement gemeinsam haben?
Nein, der Beweis ist aber auch nicht schwer.
> Zitat von felixf (siehe weiter oben): "...sie haben
> hoechstens zwei Elemente gemeinsam: wenn sie drei Elemente
> gemeinsam haben, folgt aus Lagrange, dass sie gleich sein
> muessen. "
Das gilt für 2 2-Sylowgruppen, so wie ich es verstehe.
> Es könnte also nach dieser Aussage auch sein, dass die
> Sylowgruppen mehrere Elemente gemeinsam haben...?
Zur gleichen Primzahlordnung sicher, nicht zu unterschiedlichen.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:10 Do 11.02.2010 | | Autor: | johnny11 |
> Also zwei Sylowgruppen zu unterschiedlichen (!)
> Primzahlordnungen. So meinte ich das im Konext.
Also sie müssen doch nicht einmal eine Primzahlordnung haben. Es genügt, dass sie unterschiedliche Ordnungen haben. So sind sie dann sowieso disjunkt bis aufs Einselement, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:50 Do 11.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also sie müssen doch nicht einmal eine Primzahlordnung
> haben. Es genügt, dass sie unterschiedliche Ordnungen
> haben. So sind sie dann sowieso disjunkt bis aufs
> Einselement, oder?
Nochmal ganz exakt: seien p, q verschiedene Primzahlen, seien P, Q jeweils p- bzw- q-Sylowuntergruppe von G. Dann gilt [m]P\cap G=\{e\}[/m].
SEcki
|
|
|
|
