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Jede reelle symmetrische 2 x 2 Matrix [mm]\pmat{ a & b \\
b & d } [/mm] mit [mm]a \neq c[/mm] besitzt genau 2 verschiedene relle Eigenwerte. |
Hallo,
bin gerade auf diese Aufgabe gestossen bei KLausur Vorbereitungen...
Habs jetzt erstmal über die Berechnung der Eigenwerte versucht, also
[mm]det \pmat{ a-\lambda & b \\
b & d - \lambda } [/mm] = [mm](a-\lambda )(d-\lambda ) - b^{2} = \lambda ^2 -a \lambda -d \lambda + a d - b^2 [/mm] = [mm]\lambda ^2 - \lambda (a+d) + ad - b ^2 [/mm]
Mit PQ Formel gelöst ergibt das ja dann:
[mm]\lambda_{1/2} =\frac{ -(a+d)}{2} \pm \sqrt{(\frac{a+d}{2})^2 - (ad-b^2)} [/mm]
So. Diese Gleichung hat ja nur relle Lösungen wenn alles, was unter der WUrzel ist, größer als 0 ist oder?
d.h.
[mm]\left (\frac{a+d}{2} \right )^2 - (ad-b^2) > 0 [/mm]
Und wie zeige ich daraus nun die BEhauptung?
DAnke für HInweise.
Gruß
student
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Hallo student0815,
> Zeigen Sie:
> Jede reelle symmetrische 2 x 2 Matrix [mm]\pmat{ a & b \\
b & d }[/mm]
> mit [mm]a \neq c[/mm] besitzt genau 2 verschiedene relle
> Eigenwerte.
Dann ist in der Matrix mit d wohl c gemeint.
>
> Hallo,
> bin gerade auf diese Aufgabe gestossen bei KLausur
> Vorbereitungen...
>
> Habs jetzt erstmal über die Berechnung der Eigenwerte
> versucht, also
> [mm]det \pmat{ a-\lambda & b \\
b & d - \lambda }[/mm] =
> [mm](a-\lambda )(d-\lambda ) - b^{2} = \lambda ^2 -a \lambda -d \lambda + a d - b^2[/mm]
> = [mm]\lambda ^2 - \lambda (a+d) + ad - b ^2 [/mm]
> Mit PQ Formel
> gelöst ergibt das ja dann:
>
> [mm]\lambda_{1/2} =\frac{ -(a+d)}{2} \pm \sqrt{(\frac{a+d}{2})^2 - (ad-b^2)}[/mm]
>
> So. Diese Gleichung hat ja nur relle Lösungen wenn alles,
> was unter der WUrzel ist, größer als 0 ist oder?
>
> d.h.
> [mm]\left (\frac{a+d}{2} \right )^2 - (ad-b^2) > 0 [/mm]
>
> Und wie zeige ich daraus nun die BEhauptung?
Forme den Ausdruck unter der Wurzel so um,
daß sich eine Summe von Quadraten ergibt.
>
> DAnke für HInweise.
> Gruß
> student
>
Gruss
MathePower
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