Symm. reelle Matrix mind. 1 EW < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hi
ich sitze grad über der hauptachsentransformation. der satz, um den es geht, lautet konkret in meinem skript:
Zu jeder reellen symmetrischen Matrix $S$ gibt es eine orthogonale Matrix $T$ derart, dass [mm] $T^{-1} \cdot [/mm] S [mm] \cdot [/mm] T$ eine Diagonalmatrix ist.
Der Beweis beginnt folgendermaßen:
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt die Matrix $S$ sicher einen Eigenwert [mm] $\lambda_1$, [/mm] der nach satz $bla$ reell ist.
mir ist klar, dass eine reelle symmetrische matrix nur reelle eigenwerte hat. existiert ein eigenwert, dann ist er reell - ok.
mir ist auch klar, dass nach dem fundamentalsatz der algebra jedes KOMPLEXE polynom mind. eine nullstelle hat.
ich verstehe jedoch nicht, wie und warum ich durch den fundamentalsatz schließen kann, dass eine REELLE symmetrische matrix mindestens einen eigenwert besitzt. ein polynom in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] muss doch nicht unbedingt eine nullstelle haben?? ich meine, anscheinend ist das hier ja der fall, aber ich komme leider nicht drauf, warum das so ist...
wäre super, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte, denn recherche in google war leider erfolglos...
danke & gruß, GB
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mi 05.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> hi
> ich sitze grad über der hauptachsentransformation. der
> satz, um den es geht, lautet konkret in meinem skript:
>
> Zu jeder reellen symmetrischen Matrix [mm]S[/mm] gibt es eine
> orthogonale Matrix [mm]T[/mm] derart, dass [mm]T^{-1} \cdot S \cdot T[/mm]
> eine Diagonalmatrix ist.
>
> Der Beweis beginnt folgendermaßen:
>
> Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt die Matrix [mm]S[/mm]
> sicher einen Eigenwert [mm]\lambda_1[/mm], der nach satz [mm]bla[/mm] reell
> ist.
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> mir ist klar, dass eine reelle symmetrische matrix nur
> reelle eigenwerte hat. existiert ein eigenwert, dann ist er
> reell - ok.
> mir ist auch klar, dass nach dem fundamentalsatz der
> algebra jedes KOMPLEXE polynom mind. eine nullstelle hat.
> ich verstehe jedoch nicht, wie und warum ich durch den
> fundamentalsatz schließen kann, dass eine REELLE
> symmetrische matrix mindestens einen eigenwert besitzt.
Sei A eine symmetrische Matrix. Der Fundamentalsatz garantiert einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A. Wir zeigen: [mm] \lambda \in \IR.
[/mm]
Sei x ein zugeh. Eigenvektor , von dem wir annehmen können: $||x||=1.$
$<*,*>$ bez. das Skalarprodukt.
Es ist [mm] $\lambda [/mm] = [mm] <\lambda [/mm] x,x> = <Ax,x>= <x,Ax> = <x, [mm] \lambda [/mm] x> = [mm] \overline{\lambda}$
[/mm]
FRED
> ein
> polynom in [mm]\mathbb{R}[/mm] muss doch nicht unbedingt eine
> nullstelle haben?? ich meine, anscheinend ist das hier ja
> der fall, aber ich komme leider nicht drauf, warum das so
> ist...
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> wäre super, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte,
> denn recherche in google war leider erfolglos...
>
> danke & gruß, GB
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Hallo
Nun, der Fundamentalsatz besagt, wie richtig erwähnt, dass ein Polynom in der komplexen Ebene eine Nullstelle hat.
Also ist sicher ein Eigenwert vorhanden, da es keine rolle spielt, ob die Koeffizienten reell, komplex oder was auch immer sind.
Nun, deine Matrix ist reell, symmetrisch und nach dem Satz, hat sie einen Eigenwert. Ob dieser reell oder komplex ist, wissen wir noch nicht.
Nach dem Beweis von Fred steht aber fest, der Eigenwert ist reell.
Grüsse, Amaro
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ok, vielen dank schonmal für die antwort.
nur um sicherzugehen, dass ich das verstanden habe.
ich sehe mein charakteristisches polynom einfach mal als komplex an, und das kann ich tun, weil [mm] $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ [/mm] (?)
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] es existiert mind. ein Eigenwert nach Fundamentalsatz
dieser existierende Eigenwert muss dann nach fred's Beweis reell sein.
Wichtig ist die Fragezeichenstelle 
Danke nochmal, GB
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Fr 07.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok, vielen dank schonmal für die antwort.
>
> nur um sicherzugehen, dass ich das verstanden habe.
>
> ich sehe mein charakteristisches polynom einfach mal als
> komplex an, und das kann ich tun, weil [mm]\mathbb{R} \subset \mathbb{C}[/mm]
> (?)
Genau
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] es existiert mind. ein Eigenwert nach
> Fundamentalsatz
>
> dieser existierende Eigenwert muss dann nach fred's Beweis
> reell sein.
So ist es .
FRED
>
> Wichtig ist die Fragezeichenstelle
>
> Danke nochmal, GB
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so, nachdem mir hier bereits so schön geholfen wurde gleich noch eine frage hinterher.
Im Beweis der HAT für reelle symmetrische Matrizen taucht folgende Gleichungskette auf:
Da $S$ symmetrisch ist gilt: [mm] $(T^tST)^t [/mm] = T^tS^tT = T^tST$ ($T$ ist orthogonale Matrix aus EV's)
ok, dass [mm] $S^t [/mm] = S$ gilt ist mir sonnenklar. Ich verstehe vielmehr nicht, warum ich das mit den $T's$ so machen darf.
für mich ist in erster Linie [mm] $(T^tST)^t [/mm] = [mm] (T^t)^tS^tT^t [/mm] = [mm] TST^t$
[/mm]
also entweder muss hier ja gelten, dass $ T = [mm] T^t$ [/mm] ist, oder das $T$ hier kommutiert. Was von beidem ist denn der Fall (und warum?)
Ich hoffe, ich habe mein Problem vernünftig erklärt?
Danke und Gruß, GB
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Andrey |
>Was von beidem ist denn der Fall (und warum?)
Nichts von beidem.
[mm] $(AB)^t=B^tA^t$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $(T^t [/mm] S [mm] T)^t=(T_1^t [/mm] S [mm] T_2)^t =T_2^t S^t (T_1^t)^t=T_2^t [/mm] S [mm] T_1= T^t [/mm] S T$
wobei [mm] $T=T_1=T_2$
[/mm]
So klarer?
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DANKE 
ja, das hatte ich ganz vergessen mit dem [mm] $(AB)^t [/mm] = [mm] B^tA^t$
[/mm]
super, dankeschön, jetzt ist der beweis klar!
gruß GB
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