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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:57 Fr 19.06.2009 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | Sei [mm] \Phi [/mm] : V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR [/mm] eine sym Bilinearform und [mm] x_1,...,x_n \in [/mm] V Basis mit der Eigenschaft, dass die Gram-Matrizen [mm] G_k=(\Phi (x_i, x_j))_{1\le i,j\le k} \in Mat(k,\IR), 1\le k\le [/mm] n invertierbar sind. Beweisen Sie, dass die Invariante [mm] n_{-1} \ge [/mm] 0 von [mm] \Phi [/mm] mit der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der reellen Zahlenfolge [mm] 1,det(G_1), det(G_2),...,det(G_n) [/mm] übereinstimmen. |
Hallo!!
Ich bräuchte gerne eine Korrektur der Aufgabe, wäre nett, wenn mir jemand antworten würde.
Da [mm] G_k [/mm] invertierbar sind , dann ist det [mm] (G_k)\not=0.
[/mm]
Außerdem ist [mm] \Phi [/mm] : V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR [/mm] eine sym Bilinearform, also [mm] \exists [/mm] eine Basis [mm] x_1,...x_n\in [/mm] V so ,dass [mm] G_k [/mm] die Form einer Blockmatrix hat: in einem Block stehen die 1 in der Diagonal und indem zweiten Block -1
Dann weter mit der Induktion nach n:
IA: k=1, [mm] G_1=(1) [/mm] oder [mm] G_1=(-1)
[/mm]
ist [mm] det(G_1)=1 [/mm] dann gibt es kein Vorzeichenwechsel und [mm] n_{-1}=0.
[/mm]
Ist [mm] det(G_1)=-1 [/mm] dann gibt es 1 Vorzechenwechsel und [mm] n_{-1}=1 [/mm]
IS: " (n-1) [mm] \to [/mm] n "
Angenommen die Aussage gilt für n-1, dann gibt es n-1 Vorzeichenwechsel in [mm] G_{n-1} [/mm] und [mm] n_{-1}\le [/mm] n-1
[mm] det(G_n)=det(G_{n-1}) \lambda_{nn}
[/mm]
Ist [mm] \lambda_{nn}=1 [/mm] und [mm] det(G_{n-1}=1 [/mm] dann gibts keinen Vorzeichenwechsel und [mm] n_{-1}\le [/mm] n-1
Ist [mm] \lambda_{nn}=-1 [/mm] und [mm] det(G_{n-1})=1 [/mm] dann gibts n-1+1=n Vorzeichenwechsel und [mm] n_{-1}\le [/mm] n
Ist mein Beweis richtig?
Vielwn Dank im Voraus
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Sa 20.06.2009 | | Autor: | math101 |
????:(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Mo 22.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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