Symmetrie < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Mi 22.03.2006 | | Autor: | engel |
Hallo!
Ich soll beweisen, dass folgende Funktion symmetrisch zur y-Achse sind.
Oder sind sie symmetrisch zum Ursprung?
Na ja es sind auf jeden Fall folgende Aufgaben:
1.
f: R-->R, x --> 3x² - 5
und
2. wäre dann
f: [-100;100] --> R, x--> [mm] \wurzel{100-x} [/mm] + [mm] \wurzel{100+x}
[/mm]
Nur ich habe null Ahnung wie das geht.
Einmal muss ich doch setzen:
f(x) und einmal f(-x) und dann muss beides mal das selbe rauskommen. Das tut es ja auch. Aber ich muss ja auch noch was mit D machen um den Beweis zu vervollständigen, oder?
BITTE HELFT MIR!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Engel,
es gibt zwei häufig betrachtete Formen von Symmetrie:
(1) Achsensymmetrie zur $y$-Achse:
D.h. wenn man das Koordinatensystem an der $y$-Achse "zusammenfaltet", fällt der linke Teil des Graphen genau auf den rechten Teil.
Dazu muss z.B. der $y$-Wert an der Stelle $1$, also $f(1)$, gleich dem Wert an der Stelle $-1$, also $f(1)=f(-1)$ sein.
Das muss natürlich für alle $x$ und nicht nur für $x=1$ gelten, also ist eine Funktion genau dann achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn gilt: $f(x)=f(-x)$ für alle [mm] $x\in [/mm] D$.
Wie prüft man das nach? Nehmen wir mal die Normalparabel [mm] $f(x)=x^2$.
[/mm]
Bilden wir $f(-x)$. Das wäre ja [mm] $f(-x)=(-x)^2=(-x)\cdot(-x)=x^2$.
[/mm]
Also ist $f(x)=f(-x)$ und die Normalparabel damit achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
(2) Punktsymmetrie zum Ursprung:
D.h. du erhältst z.B. den $y$-Wert von $-1$, also $f(-1)$, indem du den Punkt $(1,f(1))$ am Ursprung punktspiegelst. Du landest beim Punkt $(-1,-f(1))$, d.h. es gilt $f(-1)=-f(1)$.
Das muss natürlich für alle $x$ und nicht nur für $x=1$ gelten, also ist eine Funktion genau dann punktsymmetrisch zum Urspung, wenn gilt: $f(x)=-f(-x)$ für alle [mm] $x\in [/mm] D$.
Wie prüft man das nach? Nehmen wir mal [mm] $f(x)=x^3$.
[/mm]
Bilden wir $f(-x)$. Das wäre ja [mm] $f(-x)=(-x)^3=(-x)\cdot(-x)\cdot(-x)=x^2\cdot (-x)=-x^3$.
[/mm]
Also ist $f(x)=-f(-x)$ und die Funktion damit punktsymmetrisch zum Ursprung.
Mit diesen Infos solltest du die Symmetrie von [mm] $f(x)=3x^2-5$ [/mm] bestimmen können (hast du ja wahrscheinlich auch schon längst). Und auch bei [mm] $f(x)=\sqrt{100-x}+\sqrt{100+x}$ [/mm] ist das nicht schwer!
Beim Definitionsbereich musst du nur darauf achten, dass er auch "symmetrisch" ist, d.h. es muss $D=[-a,a]$ (oder $D=]-a,a[$) gelten für irgendein [mm] $0
Ich hoffe, ich konnte dir ein bisschen weiterhelfen. Frag' ansonsten bitte nochmal nach!
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mi 22.03.2006 | | Autor: | engel |
Das heißt meine beiden Aufgaben sind an der y-Achse gespiegelt!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hi Engel,
> Das heißt meine beiden Aufgaben sind an der y-Achse
> gespiegelt!?
Genau! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
MFG,
Yuma
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