www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differenzialrechnung" - Symmetrie
Symmetrie < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 Do 02.11.2006
Autor: Dunbi

Aufgabe
Untersuchen sie folgende Funktionen in ihren maximalen Definitionsbereichen in Bezug auf ihr Symmetreiverhalten + (andere Verhalten, die aber leicht sind)
a) f(x)=-7/(-x-4)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich denke mal, dass wir die Funktion auf zwei Symmetrien untersuchen sollen:
1. Achsensymmetrie
2. Punktsymmetrie.

1. Achsensymmetrie
   --> Ich habe aus Wikipedia folgenden Lösung:
         f(2a-x) [mm] \, [/mm] = [mm] \, [/mm] f(x)
         a ist ja die Funktion x=a --> Will ich also die S. an der Fkt. x=-4 überprüfen setze ich a=-4!
Frage 1: Wo macht es überhaupt Sinn die Achsensymmetrie zu überprüfen? An der Stelle, wo die Fkt. nicht steig ist, Minimum, Maximum, Wendepunkt ist...?
Frage 2: Wie kommen die Überhaupt auf den Beweis?

2. Punktsymmetreie
   --> Ich habe aus Wikipedia erneut folgenden Lösung:
         f(2a-x) [mm] \, [/mm] = [mm] \, [/mm] 2b - f(x)
         a und b sind die Werte des Punktes P(a/b), wo die Symmetrie überprüft werden soll.
Fast die selben Fragen:
Frage 1: Wo macht es überhaupt Sinn die Punktsymmetrie zu überprüfen?
Frage 2: Wie kommen die Überhaupt auf den Beweis?



        
Bezug
Symmetrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Do 02.11.2006
Autor: Event_Horizon

Nunja, die Achsensymmetrie im Ursprung ist doch definiert als f(x)=f(-x). Das sollte klar sein, oder?

Jetzt stell dir vor, die Funktion hat die Symmentrieachse beim x-Wert a. Man kann die Funktion nun auf der x-Achse so verschieben, daß die Symmetrieachse wieder auf dem Ursprung liegt. Das macht man, indem man überall statt x einfach (x-a) einsetzt. Probier es aus, das funktioniert!

Eingesetzt ergibt das:

f(x-a)=f(-(x-a))

oder

f(x-a)=f(-x+a)

Da diese Gleichung nun überall gelten soll, kann man auf beide Seiten in das Funktionsargment beliebige Zahlen mit reinschreiben, beispielsweise auch nochmal a:

f(x-a+a)=f(-x+a+a)

f(x)=f(-x+2a)


Eigentlich genu man nun so vor, daß man eine Gleichung aufstellt, also so:

[mm] -\bruch{7}{x-4}=+\bruch{7}{-x+2a-4} [/mm]

Jetzt schaut man, ob man daraus a so bestimmen kann, daß es für alle x konstant ist. Du wirst sehen, das geht NICHT.


Bei der Punktsymmetrie geht es genauso: Hier gilt für den Ursprung f(x)=-f(-x)

verschoben auf der x-Achse:

f(x)=-f(-x+2a)

und verschoben in y-Richtung:

f(x)-b=-(f(-x+2a)-b)

f(x)-b=b-f(-x+2a)

f(x)=2b-f(-x+2a)


Auch hier kannst du die gegebene Formel einsetzen:

[mm] $-\bruch{7}{x-4}=2b+-\bruch{7}{-x+2a-4}$ [/mm]

Diesmal solltest du feststellen, daß das für alle x gilt, wenn b=0 und a=+4.

Demnach herrscht Punktsymmetrie bei (+4|0).


Allerdings, mußt du das wirklich machen? Ich kenn das nur so, daß man das ganze nur im Ursprung bzw an der y-Achse untersuchen muß.

Bezug
                
Bezug
Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Fr 03.11.2006
Autor: Dunbi

Genial....sehr sehr gut erklärt.....
Habe mich mit der Funktion da wohl etwas falsch ausgedrückt...ich meinte: [mm] f(x)=\bruch{-7}{-x-4} [/mm]
Also ich Probiere mal:

Achsensymmetrie
f(x)=f(-x+2a)
[mm] \bruch{-7}{-x-4}=\bruch{-7}{x-2a-4} [/mm]

--> Somit wäre die linke Seite niemals gleich der rechten Seite und somit ist die Funktin niemals Achsensymmetrisch.

Punktsymmetrie
f(x)=2b-f(-x+2a)
[mm] \bruch{-7}{-x-4}=2b-\bruch{-7}{x-2a-4} [/mm]

--> Auch hier geht es doch nicht oder?
    Also ist die Funktion weder Achsen- noch Punktsymmetreisch...wenn ich sie mir zeichne, sieht das aber ganz anders aus...:(
   Sie scheint dort(bei Derive) an der Stelle -4 Achsensymmetrisch zu sein, und niemals Punktsymmetrisch...was meint ihr?






Bezug
                        
Bezug
Symmetrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Fr 03.11.2006
Autor: M.Rex


> Genial....sehr sehr gut erklärt.....
>  Habe mich mit der Funktion da wohl etwas falsch
> ausgedrückt...ich meinte: [mm]f(x)=\bruch{-7}{-x-4}[/mm]
>  Also ich Probiere mal:
>  
> Achsensymmetrie
>  f(x)=f(-x+2a)
>  [mm]\bruch{-7}{-x-4}=\bruch{-7}{x-2a-4}[/mm]
>  
> --> Somit wäre die linke Seite niemals gleich der rechten
> Seite und somit ist die Funktin niemals Achsensymmetrisch.
>  
> Punktsymmetrie
>  f(x)=2b-f(-x+2a)
> [mm]\bruch{-7}{-x-4}=2b-\bruch{-7}{x-2a-4}[/mm]
>  
> --> Auch hier geht es doch nicht oder?
>      Also ist die Funktion weder Achsen- noch
> Punktsymmetreisch...wenn ich sie mir zeichne, sieht das
> aber ganz anders aus...:(
>     Sie scheint dort(bei Derive) an der Stelle -4
> Achsensymmetrisch zu sein, und niemals
> Punktsymmetrisch...was meint ihr?
>  
>
>
>

Hallo

Zuerst mal: f(x) ist nicht achsensymmetrisch.

Am einfachsten siehst du, ob Symmetrie vorhanden ist, wenn du den Term nach a auflöst, und dann schaust, ob a von x abhängig ist. Ist das nicht der Fall, ist der Graph zu x=a symmetrisch.

Also
  
[mm] \bruch{-7}{-x-4}=\bruch{-7}{x-2a-4} [/mm]
[mm] \gdw(-7)(x-2a-4)=(-7)(-x-4) [/mm]
[mm] \gdw [/mm] x-2a-4=-x-4
[mm] \gdw [/mm] a=x, und damit ist die Funktion auch nicht achsensymmetrisch


Prüfen wir mal die Punktsymmetrie

[mm] \bruch{-7}{-x-4}=2b-\bruch{-7}{x-2a-4} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{-7}{-x-4}+\bruch{-7}{x-2a-4}=2b [/mm]
[mm] \gdw \bruch{-7(x-2a-4)-7(-x-4)}{(-x-4)(x-2a-4)}=2b [/mm]
[mm] \gdw \bruch{-7x+14a+28+7x-28}{(-x-4)(x-2a-4)}=2b [/mm]
[mm] \gdw \bruch{14a+28}{(-x²+2ax+4x-4x+8a+16}=2b [/mm]
[mm] \gdw [/mm] 14a+28=-2bx²+4ax+16a+32
[mm] \gdw [/mm] -2a-4ax=-2bx²+4
[mm] \gdw [/mm] a(1+2x)=bx²-2


Auch hier fällt x nicht komplett weg, so dass der Graph auch nicht Punktsymmetrisch ist.
Ich hoffe, dass ich jetzt keine Dreher und Rechenfehler gemacht habe


Marius


Bezug
                                
Bezug
Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 Fr 03.11.2006
Autor: Dunbi

Warum bleibt bei dir in der 5 Zeile noch die +28 stehe? die müsste wegfallen oder?
Und das ist eine sehr gut Möglichkeit einfach auf a aufzulösen...
Aber nochmal, wenn ich den Grapf zeichne, paaasiert doch irgentetwas bei -4! Dort kann man sie doch Spiegeln, müsse sie dann nicht bei a=-4 Achsensymmetrisch sein?

Bezug
                                        
Bezug
Symmetrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Fr 03.11.2006
Autor: M.Rex


> Warum bleibt bei dir in der 5 Zeile noch die +28 stehe? die
> müsste wegfallen oder?

Stimmt, hab ich übersehen.

>  Und das ist eine sehr gut Möglichkeit einfach auf a
> aufzulösen...
>  Aber nochmal, wenn ich den Grapf zeichne, paaasiert doch
> irgentetwas bei -4! Dort kann man sie doch Spiegeln, müsse
> sie dann nicht bei a=-4 Achsensymmetrisch sein?

Ja, der Graph ist punktsymmetrisch zu P(0/-4)

Es gilt, wie Informix schon sagt:
[mm] \frac{7}{x+4} [/mm] = 0 - [mm] \frac{7}{-x-8+4} \gdw \frac{7}{x+4} [/mm] = [mm] -\frac{7}{-x-4} \gdw \frac{7}{x+4} [/mm] = [mm] \frac{7}{x+4} [/mm]

Und das zeigt die Punktsymmetrie


Marius


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                
Bezug
Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Fr 03.11.2006
Autor: Dunbi

Das war der letzte Schritt zum Verstehen....

Aber noch zwei allgemeine Fragen:
1. Polstelle ist das selbe wie die Polysymptote?
2. Wie bekomme ich die Polstelle heraus? Da wo die Definitionlücke ist?


Bezug
                                                        
Bezug
Symmetrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Fr 03.11.2006
Autor: M.Rex


> Das war der letzte Schritt zum Verstehen....
>  
> Aber noch zwei allgemeine Fragen:
>  1. Polstelle ist das selbe wie die Polysymptote?

Yep

>  2. Wie bekomme ich die Polstelle heraus? Da wo die
> Definitionlücke ist?

Die Polstelle ist die Nullstelle des Nenners, also die Definitionslücke.
  
In seltenen Fällen hast du sogenannte hebbare Definitionslücken, dann hast du keine Polstelle

Marius

Bezug
                                                                
Bezug
Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Fr 03.11.2006
Autor: Dunbi

Also zum Beispiel:

[mm] f(x)=\bruch{5x}{3x} [/mm] ?

Bezug
                                                                        
Bezug
Symmetrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Fr 03.11.2006
Autor: M.Rex


> Also zum Beispiel:
>  
> [mm]f(x)=\bruch{5x}{3x}[/mm]

yep, du kannst die hebbare Definitionslücke ja durch Kürzen beheben
Also
[mm] \bruch{5\not{x}}{3\not{x}}=\bruch{5}{3} [/mm]

Ein anderes Beispiel:

[mm] f(x)=\bruch{6x²(x-1)}{3x(x-1)}=2x [/mm]

Marius

Bezug
                                                                                
Bezug
Symmetrie: Wieder einmal
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:45 Fr 03.11.2006
Autor: Dunbi

Und wiedereinmal hat mir der Matheraum geholfe...vielen Dank an alle....

Bezug
                                                                                        
Bezug
Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 Sa 04.11.2006
Autor: Dunbi

Ist denn jede Polstelle Symmetrisch?

Bezug
                                                                                                
Bezug
Symmetrie: nicht immer symmetrisch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 So 05.11.2006
Autor: informix

Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Dunbi,

> Ist denn jede Polstelle Symmetrisch?

nein, denn nicht die Polstellen sind symmetrisch, sondern eventuell ist der Graph einer Funktion symmetrisch:
1. zu Polgeraden --> achsensymmetrisch
2. zu einem Punkt auf der Polgeraden --> punktsymmetrisch.

f(x)=\frac{1}{x^2} ist achsensymmetrisch zur y-Achse=Polgerade
f(x)=\frac{1}{(x-2)^2} ist achsensymmetrisch zur Gerade x=2 =Polgerade

es gibt aber auch unsymmetrische rationale Funktionen!

$f(x)=\frac{x-4}{x^2}$ teste mal mit $f(-x)= \begin {cases} f(x) & \mbox{ achsensymm.}, \\ -f(x)  & \mbox{  punktsymm.} \end {cases}$

Gruß informix

Bezug
                                                
Bezug
Symmetrie: doch symmetrisch!
Status: (Korrektur) Korrekturmitteilung Status 
Datum: 23:01 Fr 03.11.2006
Autor: informix

Hallo Marius und Dunbi,

>  
> Wenn überhaupt, ist der Graph Punktsymmetisch bei P(0/-4) [notok]
>  
> Aber dann müsste ja gelten:
>  f(x)=2*(-4)+f(-x+2*0)
>  
>
> Was ja nicht der Fall ist. Der Graph ist also weder Punkt-,
> noch achsensymmetrisch.

Hier steckt ein Fehler!

Nicht bei (0|-4) könnte die Symmetrie liegen, sondern bei (-4|0) ist der Symmetriepunkt:
f(x)=2*0 - f(-x+2*(-4)) ist zu prüfen:

[mm] $\frac{7}{x+4} [/mm] = 0 - [mm] \frac{7}{-x-8+4} \gdw \frac{7}{x+4} [/mm] = [mm] -\frac{7}{-x-4} \gdw \frac{7}{x+4} [/mm] = [mm] \frac{7}{x+4}$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] D$

Eine andere Überlegung führt zum gleichen Ergebnis:
[mm] $f(x)=\frac{7}{x+4}$ [/mm] geht hervor aus der zu (0|0) punktsymmetrischen Funktion [mm] $f(x)=\frac{1}{x}$, [/mm] wenn man sie um 4 nach links verschiebt und mit dem Faktor 7 streckt.
Dabei wird der Symmetriepunkt mit in x-Richtung verschoben, der y-Wert gestreckt, aber 7*0=0 ändert sich nicht.

Eine Wertetabelle hätte Euch auch schnell auf die Sprünge gebracht... ;-)

>  
> Die Stelle x=-4 ist eine sogenannte Polstelle.
>  [Dateianhang nicht öffentlich]

Gruß informix


Bezug
                                                
Bezug
Symmetrie: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:18 So 05.11.2006
Autor: M.Rex

Ich habe den Artikel korrigiert.
Danke informix

Marius

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]