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Symmetrie durch lin. Funktion: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:52 Di 12.04.2005
Autor: R_Schwarz

Hallo,


in einer Hausaufgabe haben wir die folgende Aufgabe gestellt bekommen:

Der Graph der Funktion [mm]f(x) = \wurzel{4x}[/mm] wird an der Geraden [mm]g(x) = x[/mm] gespiegelt. Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die Original- und Bildgraph einschließen?


Von der Skizze her kein Problem. Die gespiegelte Fläche [mm][A _{1}]'[/mm] ist genauso groß wie [mm]A_{1}[/mm]. Die Gesamtfläche [mm]A_{ges.}[/mm] ist also so groß, wie das zweifache von der Fläche [mm]A_{1}[/mm], die von der Wurzelfunktion [mm]f(x)[/mm] und der linearen Funktion [mm]g(x)[/mm] eingeschlossen wird.

Der Schnittpunkt [mm]x_{s}[/mm] ist 4. Den Flächeninhalt habe ich wie folgt bestimmt:

[mm]A_{ges.} = 2 \cdot \left| \integral_{0}^{4} (\wurzel{4x} - x)\, dx \right|[/mm]

[mm]A_{ges.} = 5 \bruch{1}{3} FE[/mm]

Der jeweilige Flächeninhalt der beiden Flächen beträgt also [mm]2 \bruch{2}{3} FE[/mm].

Die Aufgabe ist somit (hoffentlich richtig) gelöst. Allerdings geschah das unter der Annahme, dass beide Flächen gleich groß durch die Spiegelung sind. Kann ich das auch in irgendeiner Art mathematisch nachweisen?

Das ist in der Aufgabenstellung und später bei der Lösung zwar nicht verlangt, ich würde es aber dennoch gern interessehalber erfahren.

Vielen Dank für Eure Mühe.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Symmetrie durch lin. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:13 Di 12.04.2005
Autor: Sigrid

Hallo R_Schwarz

[willkommenmr]

> Hallo,
>  
>
> in einer Hausaufgabe haben wir die folgende Aufgabe
> gestellt bekommen:
>  
> Der Graph der Funktion [mm]f(x) = \wurzel{4x}[/mm] wird an der
> Geraden [mm]g(x) = x[/mm] gespiegelt. Wie groß ist der Inhalt der
> Fläche, die Original- und Bildgraph einschließen?
>  
> Von der Skizze her kein Problem. Die gespiegelte Fläche [mm][A _{1}]'[/mm]
> ist genauso groß wie [mm]A_{1}[/mm]. Die Gesamtfläche [mm]A_{ges.}[/mm] ist
> also so groß, wie das zweifache von der Fläche [mm]A_{1}[/mm], die
> von der Wurzelfunktion [mm]f(x)[/mm] und der linearen Funktion [mm]g(x)[/mm]
> eingeschlossen wird.
>  
> Der Schnittpunkt [mm]x_{s}[/mm] ist 4. Den Flächeninhalt habe ich
> wie folgt bestimmt:
>  
> [mm]A_{ges.} = 2 \cdot \left| \integral_{0}^{4} (\wurzel{4x} - x)\, dx \right|[/mm]
>  
> [mm]A_{ges.} = 5 \bruch{1}{3} FE[/mm]
>  
> Der jeweilige Flächeninhalt der beiden Flächen beträgt also
> [mm]2 \bruch{2}{3} FE[/mm].
>  
> Die Aufgabe ist somit (hoffentlich richtig) gelöst.

[ok] Das ist sie.

> Allerdings geschah das unter der Annahme, dass beide
> Flächen gleich groß durch die Spiegelung sind. Kann ich das
> auch in irgendeiner Art mathematisch nachweisen?

Mir ist nicht ganz klar. welche Art von Beweis du suchst. Die Spiegelung ist ja eine Kongruenzabbildung, d.h. Bild und Urbild sind kongruent und haben dann auch denselben Flächeninhalt.
Du kannst aber auch die Gleichung der gespiegelten Kurve bestimmen. Das ist in diesem Fall die Umkehrfunktion:
[mm] f^{-1}(x) = \bruch{1}{4}\ x^4 [/mm]   mit  [mm] x \ge 0 [/mm]

Jetzt kannst du wieder die Fläche zwischen Kurve und Gerade berechnen.

Habe ich damit deine Frage beantwortet? Sonst melde dich.

Gruß Sigrid
>  
> Das ist in der Aufgabenstellung und später bei der Lösung
> zwar nicht verlangt, ich würde es aber dennoch gern
> interessehalber erfahren.
>  
> Vielen Dank für Eure Mühe.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Bezug
                
Bezug
Symmetrie durch lin. Funktion: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 Di 12.04.2005
Autor: R_Schwarz

Hallo Sigrid,

> [willkommenmr]

Dankeschön!

> > Die Aufgabe ist somit (hoffentlich richtig) gelöst.
>
> [ok] Das ist sie.

Das freut mich.
  
> > Allerdings geschah das unter der Annahme, dass beide
> > Flächen gleich groß durch die Spiegelung sind. Kann ich das
> > auch in irgendeiner Art mathematisch nachweisen?
>  
> Mir ist nicht ganz klar. welche Art von Beweis du suchst.
> Die Spiegelung ist ja eine Kongruenzabbildung, d.h. Bild
> und Urbild sind kongruent und haben dann auch denselben
> Flächeninhalt.
>  Du kannst aber auch die Gleichung der gespiegelten Kurve
> bestimmen. Das ist in diesem Fall die Umkehrfunktion:
>  [mm]f^{-1}(x) = \bruch{1}{4}\ x^4[/mm]   mit  [mm]x \ge 0[/mm]
>  
> Jetzt kannst du wieder die Fläche zwischen Kurve und Gerade
> berechnen.
>
> Habe ich damit deine Frage beantwortet? Sonst melde dich.

Also könnte ich bei jeder Spiegelung an der linearen Funktion [mm]f(x) = x[/mm] die Funktionsgleichung der gespiegelten Funktion durch die inverse Funktion bestimmen? Meine Frage zielte nämlich darauf ab, wie ich die Funktionsgleichung einer an einer beliebigen linearen Funktion g(x) gespiegelten Funktion f(x) bestimmen kann. Ich denke der Fall mit der inversen Funktion ist nur für die Spiegelung an [mm]f(x) = x[/mm] geeignet, um die Funktionsgleichung für [mm][f(x)]'[/mm] zu bestimmen, nicht aber bei einer Spiegelung an bspw. [mm]h(x) = 3x + 9 [/mm], oder?

Als weitere Frage: Wenn ich die inverse Funktion von f(x) aus der Aufgabenstellung berechne, komme ich auf [mm]f^{-1}(x) = \bruch{1}{4}\ x^2[/mm]   mit  [mm]x \ge 0[/mm]. Hab ich dort irgendetwas falsch berechnet (der Exponent unserer beiden Berechnungen unterscheidet sich nämlich)?

Vielen vielen Dank für die Mühe und die schnelle Antwort.


Freundliche Grüße,

René
Bezug
                        
Bezug
Symmetrie durch lin. Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:05 Di 12.04.2005
Autor: Max

Hallo Rene,

ich das mit der Spiegelung an einer beliebigen Geraden ist schwierig, denn in den meisten Fällen wird die gespiegelte Kurve nicht mehr eine Funktion sein (auch die Umkehrfunktion existiert ja nicht immer).
Deshalb ist die Methodik, die doppelte Fläche zwischen Spiegelgeraden und Kurve zu berechen besser.

Max
Bezug
                                
Bezug
Symmetrie durch lin. Funktion: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:35 Di 12.04.2005
Autor: R_Schwarz

Aha. Aber es ist doch zumindest möglich, oder? Nur interessehalber: Wie würde das Verfahren dazu aussehen? (Wenn es zu langwierig für dich zu beschreiben ist, brauchst du nicht unbedingt zu antworten.)

Vielen Dank.
Bezug
        
Bezug
Symmetrie durch lin. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Di 12.04.2005
Autor: Max

Hallo Rene,

die Spiegelung der Funktion $f$ an der Geraden $y=x$ entspricht der Umkehrfunktion von $f$, d.h du suchst die Fläche zwischen den Funktionen [mm] $f(x)=\sqrt{4x}=2\sqrt{x}$ [/mm] und [mm] $f^{-1}(x)=\frac{1}{4}x^2$. [/mm] Dann musst du nur noch die Schnittstellen der beiden Funktionen bestimmen ($x=0$ und $x=4$) und kannst das Integral aufstellen und berechnen - allerdings finde ich deine Lösung eleganter.

Gruß Max
Bezug
                
Bezug
Symmetrie durch lin. Funktion: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:55 Di 12.04.2005
Autor: R_Schwarz

Hallo Max,

ich habe deine Antwort leider zu spät entdeckt. Ich fragte nämlich Sigrid, ob meine Funktionsgleichung der inversen Funktion falsch ist, da ich als Exponent für das x 2 erhalten habe. Aber wie ich sehe, kommt auch du zu dieser Funktion. War bestimmt nur ein Tippfehler bei Sigrid's Antwort.

Vielen Dank für deine Antwort, das hilft meinem Verständnis dafür sehr. Vielleicht hast du auch Lust auf meine Frage zur Spiegelung an einer beliebigen Funktion zu antworten. Den Beitrag findest du ein Posting höher, als Antwort auf Sigrids Posting.

Nochmals vielen Dank.
Bezug
                        
Bezug
Symmetrie durch lin. Funktion: sorry
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:29 Mi 13.04.2005
Autor: Sigrid

Hallo R_Schwarz,
> Hallo Max,
>  
> ich habe deine Antwort leider zu spät entdeckt. Ich fragte
> nämlich Sigrid, ob meine Funktionsgleichung der inversen
> Funktion falsch ist, da ich als Exponent für das x 2
> erhalten habe. Aber wie ich sehe, kommt auch du zu dieser
> Funktion. War bestimmt nur ein Tippfehler bei Sigrid's
> Antwort.

[sorry] Das war natürlich ein blöder Tippfehler.

Fruß Sigrid
>  
> Vielen Dank für deine Antwort, das hilft meinem Verständnis
> dafür sehr. Vielleicht hast du auch Lust auf meine Frage
> zur Spiegelung an einer beliebigen Funktion zu antworten.
> Den Beitrag findest du ein Posting höher, als Antwort auf
> Sigrids Posting.
>  
> Nochmals vielen Dank.

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