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Hallo,
in einer Hausaufgabe haben wir die folgende Aufgabe gestellt bekommen:
Der Graph der Funktion [mm]f(x) = \wurzel{4x}[/mm] wird an der Geraden [mm]g(x) = x[/mm] gespiegelt. Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die Original- und Bildgraph einschließen?
Von der Skizze her kein Problem. Die gespiegelte Fläche [mm][A _{1}]'[/mm] ist genauso groß wie [mm]A_{1}[/mm]. Die Gesamtfläche [mm]A_{ges.}[/mm] ist also so groß, wie das zweifache von der Fläche [mm]A_{1}[/mm], die von der Wurzelfunktion [mm]f(x)[/mm] und der linearen Funktion [mm]g(x)[/mm] eingeschlossen wird.
Der Schnittpunkt [mm]x_{s}[/mm] ist 4. Den Flächeninhalt habe ich wie folgt bestimmt:
[mm]A_{ges.} = 2 \cdot \left| \integral_{0}^{4} (\wurzel{4x} - x)\, dx \right|[/mm]
[mm]A_{ges.} = 5 \bruch{1}{3} FE[/mm]
Der jeweilige Flächeninhalt der beiden Flächen beträgt also [mm]2 \bruch{2}{3} FE[/mm].
Die Aufgabe ist somit (hoffentlich richtig) gelöst. Allerdings geschah das unter der Annahme, dass beide Flächen gleich groß durch die Spiegelung sind. Kann ich das auch in irgendeiner Art mathematisch nachweisen?
Das ist in der Aufgabenstellung und später bei der Lösung zwar nicht verlangt, ich würde es aber dennoch gern interessehalber erfahren.
Vielen Dank für Eure Mühe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 21:05 Di 12.04.2005 | Autor: | Max |
Hallo Rene,
ich das mit der Spiegelung an einer beliebigen Geraden ist schwierig, denn in den meisten Fällen wird die gespiegelte Kurve nicht mehr eine Funktion sein (auch die Umkehrfunktion existiert ja nicht immer).
Deshalb ist die Methodik, die doppelte Fläche zwischen Spiegelgeraden und Kurve zu berechen besser.
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 21:35 Di 12.04.2005 | Autor: | R_Schwarz |
Aha. Aber es ist doch zumindest möglich, oder? Nur interessehalber: Wie würde das Verfahren dazu aussehen? (Wenn es zu langwierig für dich zu beschreiben ist, brauchst du nicht unbedingt zu antworten.)
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | Datum: | 20:37 Di 12.04.2005 | Autor: | Max |
Hallo Rene,
die Spiegelung der Funktion $f$ an der Geraden $y=x$ entspricht der Umkehrfunktion von $f$, d.h du suchst die Fläche zwischen den Funktionen [mm] $f(x)=\sqrt{4x}=2\sqrt{x}$ [/mm] und [mm] $f^{-1}(x)=\frac{1}{4}x^2$. [/mm] Dann musst du nur noch die Schnittstellen der beiden Funktionen bestimmen ($x=0$ und $x=4$) und kannst das Integral aufstellen und berechnen - allerdings finde ich deine Lösung eleganter.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 20:55 Di 12.04.2005 | Autor: | R_Schwarz |
Hallo Max,
ich habe deine Antwort leider zu spät entdeckt. Ich fragte nämlich Sigrid, ob meine Funktionsgleichung der inversen Funktion falsch ist, da ich als Exponent für das x 2 erhalten habe. Aber wie ich sehe, kommt auch du zu dieser Funktion. War bestimmt nur ein Tippfehler bei Sigrid's Antwort.
Vielen Dank für deine Antwort, das hilft meinem Verständnis dafür sehr. Vielleicht hast du auch Lust auf meine Frage zur Spiegelung an einer beliebigen Funktion zu antworten. Den Beitrag findest du ein Posting höher, als Antwort auf Sigrids Posting.
Nochmals vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 07:29 Mi 13.04.2005 | Autor: | Sigrid |
Hallo R_Schwarz,
> Hallo Max,
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> ich habe deine Antwort leider zu spät entdeckt. Ich fragte
> nämlich Sigrid, ob meine Funktionsgleichung der inversen
> Funktion falsch ist, da ich als Exponent für das x 2
> erhalten habe. Aber wie ich sehe, kommt auch du zu dieser
> Funktion. War bestimmt nur ein Tippfehler bei Sigrid's
> Antwort.
Das war natürlich ein blöder Tippfehler.
Fruß Sigrid
>
> Vielen Dank für deine Antwort, das hilft meinem Verständnis
> dafür sehr. Vielleicht hast du auch Lust auf meine Frage
> zur Spiegelung an einer beliebigen Funktion zu antworten.
> Den Beitrag findest du ein Posting höher, als Antwort auf
> Sigrids Posting.
>
> Nochmals vielen Dank.
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