Symmetrie einer Arkusfunktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Weisen Sie die Punktsymmetrie der Funktion f: x--> [mm] arctan(e^x) [/mm] zum Punkt (0|PI/4) nach. |
Grüß euch :)
Ich hab echt 0 Plan was ich machen soll.
Ich bin davon ausgegangen dass für eine Punktsymmetrie gelten muss:
f(x)=-f(-x)
[mm] arctan(e^x) [/mm] = -arctan(e^-x)
Wie man das nachweist, weis ich aber leider ned. Irgendwelche Ideen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Do 29.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ist eine Funktion Punktsymmetrisch zu P(a/b), gilt:
f(2a-x)=2b - f(x)
oder auch
f(a+x)+f(a-x)=2b
und das gilt für beliebige x
Deine Formel f(x)=-f(-x) gilt nür für die Punktsymmetrie zum Ursprung.
Hier ist [mm] f(x)=arctan(e^{x}) [/mm] und [mm] P(0;\bruch{\pi}{4})
[/mm]
Also ist zu zeigen:
[mm] arctan(e^{0+x})+arctan(e^{0-x})=2*\bruch{\pi}{4}
[/mm]
[mm] \gdw arctan(e^{x})+arctan(e^{-x})=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Do 29.11.2007 | | Autor: | raycluster |
Tut mir Leid ich hatte mich verschrieben. Mein Ansatz war
[mm] arctan(e^x)+Pi/4=-arctan(e^{-x}) [/mm] - Pi/4
Von hier an weis ich leider nicht weiter.
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Ich habe eine Ansatz:
Ich habe die Ableitung übeprüft, die dürfte laut Maple achsensymmetrisch sein. Kann ich daraus schließen, dass f punktsymmetrisch ist? Und da bei der Stelle 0 nachweislich die Übeprüfung ergibt, dass besagte Summe Pi/2 ist, ist daraus doch zu schließen, dass f punktsymmetrisch ist zu Pi/4 oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Do 29.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo raycluster!
Du hast Recht: Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist eine gerade Funktion und umgekehrt.
Ich habe hier nun einen rechnerischen Weg gefunden, der aber zeimlich aufwändig ist.
Zu zeigen ist: [mm] $\arctan\left(e^x\right)+\arctan\left(e^{-x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$
[/mm]
Draus klann man auch machen:
[mm] $$\cos\left[\arctan\left(e^x\right)+\arctan\left(e^{-x}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) [/mm] \ = \ 0$$
Nun benötigen wir zunächst das Additionstheorem für den [mm] $\cos$ [/mm] mit [mm] $\cos(\alpha+\beta) [/mm] \ = \ [mm] \cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\alpha)*\sin(\beta)$ [/mm] .
Und folgende Beziehungen:
[mm] $$\cos[\arctan(\alpha)] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\alpha^2}}$$
[/mm]
[mm] $$\sin[\arctan(\alpha)] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\alpha}{\wurzel{1+\alpha^2}}$$
[/mm]
Viel Spaß dabei ... 
Gruß
Loddar
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Die Lösung finde ich an sich nicht schlecht, aber wie kommst du auf die beiden letzten Beziehungen? Hast du die hergeleitet? Weil die hab ich noch nie gesehen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo raycluster!
Diese Gleichungen habe ich nicht hergeleitet sondern einer Formelsammlung entnommen.
Gruß
Loddar
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