Symmetrie von Funktion < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Do 18.10.2012 | | Autor: | Boastii |
Hallo liebes Forum,
mich beschäftigt im Moment eine konkrete Frage, gehe im Moment in die 13. Klasse einer Fachoberschule. Wir haben im Unterricht gebrochen rationale Funktionen durchgenommen mit den entsprechenden Asymptoten. Auch mit der Symmetrie haben wir uns befasst.
Beim bearbeiten der Hausaufgaben ist mir dann doch eine Frage gekommen.
Wir sollten die Symmetrie der Funktionen prüfen und zwar nur diese zur x- bzw. y-Achse.
Zufällig weiß ich das es auch Symmetrien zum Schnittpunkt der Asymptoten gibt und man diese durch Koordinatentransformation beweisen kann (nicht mehr im Lehrplan..) oder auch die Symmetrie zum Wendepunkt bei Funktionen 3. Grades.
Nun die Frage: Gibt es eine Möglichkeit, die Symmetrie immer zu beweisen? Also man hat eine Funktion (beliebig), kann man da prüfen ob diese zu irgendeinem Punkt oder einer anderen Funktion Symmetrisch ist, also das sie sich an dieser Funktion spiegelt?
Also ich möchte jetzt keine einfache Formel hingeknallt bekommen bitte, sondern evt. einen Link zu einer herleitung dieser.
Danke euch.
Für Fragen bezüglich der Formulierung etc. einfach schreiben
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=502836
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Do 18.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo liebes Forum,
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> mich beschäftigt im Moment eine konkrete Frage, gehe im
> Moment in die 13. Klasse einer Fachoberschule. Wir haben im
> Unterricht gebrochen rationale Funktionen durchgenommen mit
> den entsprechenden Asymptoten. Auch mit der Symmetrie haben
> wir uns befasst.
>
>
> Beim bearbeiten der Hausaufgaben ist mir dann doch eine
> Frage gekommen.
> Wir sollten die Symmetrie der Funktionen prüfen und zwar
> nur diese zur x- bzw. y-Achse.
> Zufällig weiß ich das es auch Symmetrien zum Schnittpunkt
> der Asymptoten gibt und man diese durch
> Koordinatentransformation beweisen kann (nicht mehr im
> Lehrplan..) oder auch die Symmetrie zum Wendepunkt bei
> Funktionen 3. Grades.
>
> Nun die Frage: Gibt es eine Möglichkeit, die Symmetrie
> immer zu beweisen? Also man hat eine Funktion (beliebig),
> kann man da prüfen ob diese zu irgendeinem Punkt
ja, da machst Du einfach eine passende Koordinatentransformation
(eigentlich ja nur eine Verschiebung des Nullpunktes des
Koordinatensystems an den entsprechenden Punkt) und prüfst wie
gehabt, indem Du Deine Funktion dann transformiert beschreibst.
Man kann das natürlich auch "mit den direkten Funktionsdaten und dem
gegebenen Punkt" testen:
![[]](/images/popup.gif) Wiki-Link
Sowas kann und sollte man sich mal schnell skizzieren - denn das ist keine
Zauberei, sondern da stehen eigentlich nur einfache Überlegungen, die
geometrisch vollkommen klar sind. Sogar mit einfachen Beispielen, wie
etwa Funktionen wie [mm] $x^3\,$ [/mm] kann man sich das klarmachen, wenn man
hier die Eigenschaft "ungerade Funktion" benutzt und den entsprechenden
Nullpunkt verschiebt und sich dann anschaut, wie die verschobene
Funktion im urspünglichen Koordinatensystem durch einen
Funktionsausdruck beschrieben wird. Dieses "beispielhafte" läßt sich dann
auf allgemeine ungerade Funktionen übertragen.
Ebenso einfach wäre es zu prüfen, ob eine Funktion symmetrisch zu einer
zur $y$-Achse parallelen Geraden ist. (Beispielhaft kann man sich das mit
der Funktion [mm] $x^2$ [/mm] - in der Variablen [mm] $x\,$ [/mm] - mal verdeutlichen!)
> oder
> einer anderen Funktion Symmetrisch ist, also das sie sich
> an dieser Funktion spiegelt?
Da musst Du erstmal erklären, was eine Symmetrie zu "einer allgemeinen
Funktion" bedeuten soll - und da wird's, wenn Du Dir das so vorstellst, wie
ich es mir denke, schon schwer: Du brauchst einige Eigenschaften an die
"Funktion, an der wir Spiegelsymmetrie testen wollen" - bei manchen
Funktionen wird man an manchen Stellen mit der Definition Probleme
bekommen, bei anderen wird man vll. direkt sagen können, dass das
für keine Funktion eine Spiegelfunktion sein kann, es sei denn, die Funktion
wäre selbst die Spiegelfunktion - weil man direkt sehen kann, dass
andernfalls bei "Spiegelwerten" zwei [mm] $y\,$-Werte [/mm] zu einem [mm] $x\,$-Wert
[/mm]
entstehen würden... oder sowas.
> Also ich möchte jetzt keine einfache Formel hingeknallt
> bekommen bitte, sondern evt. einen Link zu einer herleitung
> dieser.
Na, erklär' mal, um welche Symmetrien es Dir genau geht. Die "einfachsten"
stehen ja in Wiki - also nur Test: "Spiegelachse " ist parallel zur
[mm] $y\,$-Achse [/mm] oder "Punktsymmetrie zu einem Punkt, der nicht notw. der
Koordinatenursprung ist".
Wenn man ein bisschen rumspinnt wäre das nächste, was ich mich fragen
würde:
Kann ich durch eine geeignete "Achsenskalierung" evtl. eine nicht
symmetrisch aussehende Funktion doch irgendwie symmetrisch machen?
Vielleicht sogar nur durch eine Achsentransformation ab einem gewissen
[mm] $x\,$-Wert [/mm] für alle [mm] $x\,$-Werte [/mm] rechts von diesem?
Hier wird's dann aber ein wenig "komplizierter"...
P.S.
In etwa der Physik plottet man manche Sachen nicht gegen [mm] $x\,,$ [/mm] sondern
[mm] $\log(x)\,$ [/mm] oder sowas. Also das ist nichts, was ich mir mal einfach so
ausgedacht habe, solche Überlegungen machen wirklich manchmal Sinn,
und sei es nur, um eine Gesetzmäßigkeit, die man in einem "normalen Plot"
schlecht sieht, etwa in einem Plot mit "logarithmisch skalierter x-Achse und
logarithmisch skalierter y-Achse" als "offensichtlich" zu sehen:
Beispielsweise, wenn man dann da eine Gerade sieht...
Dann kann man prüfen: Wie passt das zu den Messdaten?
Beispiel:
Wir vermuten eine Gleichung der Form
[mm] $$y=f(x)=A*\exp(x^2)+B\,,$$
[/mm]
wobei $A > [mm] 0\,.$
[/mm]
Wenn wir [mm] $y\,$ [/mm] durch [mm] $y-B\,$ [/mm] ersetzen und danach die [mm] $y\,$-Achse [/mm]
logarithmisch skalieren [mm] ($\to [/mm] y'$), erhalten wir
[mm] $$y'=\ln(y-B)=\ln(A)*x^2\,.$$
[/mm]
Ersetzen wir nun [mm] $x'=x^2:$
[/mm]
[mm] $$y'=\ln(A)*x'\,.$$
[/mm]
Wenn wir nun die Daten passend transformieren, glauben wir doch relativ
gut "durch Hingucken" beurteilen zu können, ob die auf einer Geraden
liegen oder nicht - und Steigungen können wir berechnen, damit dann
[mm] $A\,$ [/mm] etc. pp..
Oder Alternativ:
Wir denken:
[mm] $$y=A*x\,,$$
[/mm]
dann ist mit logarithmisch skalierter [mm] $y\,$-Achse [/mm]
[mm] $$y'=\log(y)=\log(A)+\log(x)$$
[/mm]
(Macht natürlich - wie auch oben, was ich da verschwiegen habe, immer
nur Sinn, wenn man so rechnen darf. Also für $y > [mm] 0\,$ [/mm] und $x > [mm] 0\,$ [/mm]
etwa...)
Ersetzen wir [mm] $x'=\log(x)$ [/mm] und plotten die Daten bzgl. $x'$ und [mm] $y'\,,$ [/mm] dann
erwarten wir also
[mm] $$y'=\log(A)+x'\,,$$
[/mm]
dann sehen wir dort also eine 45-Grad-Gerade, verschoben um [mm] $\log(A)\,.$
[/mm]
[mm] $\log(A)$ [/mm] glauben wir dann gut ablesen zu können, um [mm] $A\,$ [/mm] zu berechnen
(in Wahrheit kann man aber wegen der Achsentransformation eigentlich
[mm] $\log(A)$ [/mm] doch nicht so gut ablesen).
> Danke euch.
> Für Fragen bezüglich der Formulierung etc. einfach
> schreiben
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=502836
Gruß,
Marcel
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