Symmetriebeweis < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mo 25.06.2007 | | Autor: | jogi87 |
| Aufgabe | | Begründe weshalb ganzrationale FKT. 3. Grades stets punktsymmetrisch sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Norwalerweise hab ich beim Symmetriebeweis mit konkreten Funktionen keine Probleme.
Aber in dem Fall wiß ich nicht wie ich das allgemein formulieren soll.
Also ich weiß, dass
f(-x)=-f(x) sein muss.
dann hab ich dass mal mit der allg. Formel probiert:
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
f(-x)=-a+b-c+d
-f(x)=-a-b-c-d
Irgendwas kann da jawohl nicht stimmen oder? - keine Ahnung
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mo 25.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Norwalerweise hab ich beim Symmetriebeweis mit konkreten
> Funktionen keine Probleme.
> Aber in dem Fall wiß ich nicht wie ich das allgemein
> formulieren soll.
> Also ich weiß, dass
>
> f(-x)=-f(x) sein muss.
>
> dann hab ich dass mal mit der allg. Formel probiert:
>
> [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
> f(-x)=-a+b-c+d
> -f(x)=-a-b-c-d
>
> Irgendwas kann da jawohl nicht stimmen oder? - keine
> Ahnung
>
> Danke für eure Hilfe!
Aus der Schule ist bekannt, dass eine Funktion mit
- geraden Exponenten achsensymmetrisch,
- ungeraden Exponenten punktsymmetrisch ist.
Treten beide Fälle (gerade und ungerade Exponenten) auf - wie in deinem
Beispiel, so ist die Funktion weder Punkt- noch Achsensymmetrisch.
Deswegen haut diese Rechnung nicht hin.
MfG
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mo 25.06.2007 | | Autor: | jogi87 |
OK dann reicht einfach:
[mm] f(x)=x^3
[/mm]
f(-x)=-x
-f(x)=-x
oder?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Aufgabe lautet doch "ganzrationale Funkiton 3. Gerades", und [mm] f(x)=x^3 [/mm] ist ein Spezialfall.
Meine Überlegung wäre diese: Jede ganzrat. Funktion 3. Gerades hat einen Wendepunkt. Der Wendepunkt ist Symmetriepunkt.
Jetzt muss man nur noch allgemein zeigen, dass die allgemeine Granzrat. Funktion punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist.
Einleuchten sollte dsa schon, wenn man sich [mm] x^3 [/mm] anguckt, und alles andere als Ableitung von [mm] x^3 [/mm] ansieht, dass dort dann die Symmetrie zum Wendepunkt erhalten bleibt.
Also: Erstmal zeigen, dass es immer einen Wendepunkt gibt, und ich schau mal, wie die Rechnung dann ausschaut zur Punksymmetrie zum Wendepunkt.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Mo 25.06.2007 | | Autor: | jogi87 |
Ok WP (0/0) daraus folgt beim Symmetriebeweis 0=0 also richtig!?
gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du das mit [mm] f(x)=x^3 [/mm] machen willst, dann musst du fordern, dass f(x)=-f(-x) gilt, da ja der WP(0;0) ist.
Denn mit f(x)=-f(-x) will man zeigen, dass es sich um Punktsymmetrie zum Ursprung handelt.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Mo 25.06.2007 | | Autor: | jogi87 |
OK passt!
vielen Dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dennoch bin ich der Meinung, dass man nicht die Hyperbel nehmen sollte mit [mm] f(x)=x^3 [/mm] sondern deine allgemeine Funktion dritten Gerades.
Aber ob du dann rechnerisch etwas lösen sollst weiß ich nicht.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jogi!
Wie bereits bemerkt wurde ist bei einer ganzrationalen Funktion 3. Grades immer der Wendepunkt ein Symmetriepunkt bzgl. Punktsymmetrie.
Für die Punktsymmetrie zu einem einem beliebigen Punkt $P \ [mm] \left( \ \blue{a} \ ; \ \red{b} \ \right)$ [/mm] muss gelten:
[mm] $f(\blue{a}+x)+f(\blue{a}-x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\red{b}$
[/mm]
Setze hier also mal die Koordinaten des Wendepunktes einer belibeigen ganzrationalen Funktion 3. Grades $f(x) \ = \ [mm] a*x^3+b*x^2+c*x+d$ [/mm] ein.
Gruß
Loddar
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