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| Aufgabe | Für jede reelle Zahl [mm] t\not=0 [/mm] ist die Funktion ft(x)=x³-3tx²+2t²x gegeben.
1) Forumulieren Sie ein Kriterium dafür, dass der Graph einer Funktion ft punktsymmetrisch zu einem Punkt p(x0,0) auf der x-Achse verläuft.
Weisen Sie unter Verwendung des Kriteriums nach, dass der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Punkt P2 (2/o) verläuft.
Untersuchen Sie, ob allgemein gilt, dass der Graph der Funktion ft punktsymmetrisch zum Punkt Pt (t/0) ist.
2) Jeder Graphen der Funktionen ft schließt mit der x-Achse zwei Flächen vollständig ein. Deren Gesamtheit sei At.
Begründen Sie,dass für jedes t die beiden Flächen zueinander kongruent sind. Berechnen Sie den Inhalt At. Für welchen Wert t ist A=40,5?
3) Für jedes t schneidet die Wendetangente aus den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck aus. Berechnen Sie den Inhalt der Dreiecksfläche. Für welche Werte von t ist das Dreieck gleichschenklig?
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Die ersten Fragen zu Nullstellen und Extrema hab ich noch geschafft, aber hier hab ich keinen blassen Schimmer wie ich die Aufgaben lösen kann.
Wäre super wenn mir jedem den Ansatz oder den ganzen Weg erklären könnte.
Zur Punktsymmetrie kenn ich nur f(x) = -f(-x)
mfg Lara
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 So 02.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Für jede reelle Zahl [mm]t\not=0[/mm] ist die Funktion
> ft(x)=x³-3tx²+2t²x gegeben.
>
> 1) Forumulieren Sie ein Kriterium dafür, dass der Graph
> einer Funktion ft punktsymmetrisch zu einem Punkt p(x0,0)
> auf der x-Achse verläuft.
> Weisen Sie unter Verwendung des Kriteriums nach, dass der
> Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Punkt P2 (2/o)
> verläuft.
> Untersuchen Sie, ob allgemein gilt, dass der Graph der
> Funktion ft punktsymmetrisch zum Punkt Pt (t/0) ist.
Hallo,
du hast deine Lösungen zu 1) nicht weiter ausgeführt. Nur zur Kontrolle für dich: Bei Funktionen dritten Grades ist der Wendepunkt immer der Symmetriepunkt für die Punktsymmetrie.
>
> 2) Jeder Graphen der Funktionen ft schließt mit der x-Achse
> zwei Flächen vollständig ein. Deren Gesamtheit sei At.
> Begründen Sie,dass für jedes t die beiden Flächen
> zueinander kongruent sind. Berechnen Sie den Inhalt At. Für
> welchen Wert t ist A=40,5?
Die Behauptung folgt aus der Punktsymmetrie. Es muss dann also 3 Nullsellen geben. Der Flächeninhalt zwischen der mittleren und
einer äußeren Nullstelle ist dann also 20,25 (Stammfunktin ausstellen und deren Werte der beiden Nullstellen subtrahieren --> das muss 20,25 sein.
Wähle dir mal ein beliebiges t und verdeutliche dir das am Graphen. Der Wendepunkt liegt z.B. genau in der Mitte zwischen den beiden Extrempunkten.
>
> 3) Für jedes t schneidet die Wendetangente aus den
> Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck aus. Berechnen
> Sie den Inhalt der Dreiecksfläche.
Tangentengleichung für die mittlere Nullstelle aufstellen!
> Für welche Werte von t
> ist das Dreieck gleichschenklig?
Tangente und x-Achse müssen hier einen 45°-Winkel bilden.
>
> Die ersten Fragen zu Nullstellen und Extrema hab ich noch
> geschafft, aber hier hab ich keinen blassen Schimmer wie
> ich die Aufgaben lösen kann.
> Wäre super wenn mir jedem den Ansatz oder den ganzen Weg
> erklären könnte.
>
> Zur Punktsymmetrie kenn ich nur f(x) = -f(-x)
Das gilt nur, wenn der Symmetriepunkt im Koordinatenursprung liegt.
Viele Grüße
Abakus.
>
> mfg Lara
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> > Für jede reelle Zahl [mm]t\not=0[/mm] ist die Funktion
> > ft(x)=x³-3tx²+2t²x gegeben.
> >
> > 1) Forumulieren Sie ein Kriterium dafür, dass der Graph
> > einer Funktion ft punktsymmetrisch zu einem Punkt p(x0,0)
> > auf der x-Achse verläuft.
> > Weisen Sie unter Verwendung des Kriteriums nach, dass
> der
> > Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Punkt P2 (2/o)
> > verläuft.
> > Untersuchen Sie, ob allgemein gilt, dass der Graph der
> > Funktion ft punktsymmetrisch zum Punkt Pt (t/0) ist.
> Hallo,
> du hast deine Lösungen zu 1) nicht weiter ausgeführt. Nur
> zur Kontrolle für dich: Bei Funktionen dritten Grades ist
> der Wendepunkt immer der Symmetriepunkt für die
> Punktsymmetrie.
>
> Dann wäre das Kriterium: Wendepunkt =Symmetriepukt.
> der Wendepunkt WP(t/0) ist auch hier zusätzlich die >Nullstelle N (t/0), diese Verknüpfng hab ich, aber wie >kann ich das jetzt nachweisen?
> >
> > 2) Jeder Graphen der Funktionen ft schließt mit der x-Achse
> > zwei Flächen vollständig ein. Deren Gesamtheit sei At.
> > Begründen Sie,dass für jedes t die beiden Flächen
> > zueinander kongruent sind. Berechnen Sie den Inhalt At. Für
> > welchen Wert t ist A=40,5?
>
> Die Behauptung folgt aus der Punktsymmetrie. Es muss dann
> also 3 Nullsellen geben. Der Flächeninhalt zwischen der
> mittleren und
> einer äußeren Nullstelle ist dann also 20,25 (Stammfunktin
> ausstellen und deren Werte der beiden Nullstellen
> subtrahieren --> das muss 20,25 sein.
> Wähle dir mal ein beliebiges t und verdeutliche dir das am
> Graphen. Der Wendepunkt liegt z.B. genau in der Mitte
> zwischen den beiden Extrempunkten.
>
> Die 3 Nullstellen hab ich. Kann anhand der Zeichnung auch nachvollziehen, dass der Wendepunkt in der Mitte der Extrempunkte liegt. Aber ich krieg ein falsches Ergebnis raus. Als Grenzen habe ich 0 und t. Da x=t muss ich ja für beides den gleichen Wert einsetzen... (?)
> >
> > 3) Für jedes t schneidet die Wendetangente aus den
> > Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck aus. Berechnen
> > Sie den Inhalt der Dreiecksfläche.
>
> Tangentengleichung für die mittlere Nullstelle aufstellen!
>
> > Für welche Werte von t
> > ist das Dreieck gleichschenklig?
>
> Tangente und x-Achse müssen hier einen 45°-Winkel bilden.
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> >
> > Die ersten Fragen zu Nullstellen und Extrema hab ich noch
> > geschafft, aber hier hab ich keinen blassen Schimmer wie
> > ich die Aufgaben lösen kann.
> > Wäre super wenn mir jedem den Ansatz oder den ganzen
> Weg
> > erklären könnte.
> >
> > Zur Punktsymmetrie kenn ich nur f(x) = -f(-x)
> Das gilt nur, wenn der Symmetriepunkt im
> Koordinatenursprung liegt.
> Viele Grüße
> Abakus.
>
> >
> > mfg Lara
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
Vielen Dank, hat mir geholfen :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 So 02.03.2008 | | Autor: | abakus |
> > > Für jede reelle Zahl [mm]t\not=0[/mm] ist die Funktion
> > > ft(x)=x³-3tx²+2t²x gegeben.
> > >
> > > 1) Forumulieren Sie ein Kriterium dafür, dass der Graph
> > > einer Funktion ft punktsymmetrisch zu einem Punkt p(x0,0)
> > > auf der x-Achse verläuft.
> > > Weisen Sie unter Verwendung des Kriteriums nach,
> dass
> > der
> > > Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Punkt P2 (2/o)
> > > verläuft.
> > > Untersuchen Sie, ob allgemein gilt, dass der Graph
> der
> > > Funktion ft punktsymmetrisch zum Punkt Pt (t/0) ist.
> > Hallo,
> > du hast deine Lösungen zu 1) nicht weiter ausgeführt.
> Nur
> > zur Kontrolle für dich: Bei Funktionen dritten Grades ist
> > der Wendepunkt immer der Symmetriepunkt für die
> > Punktsymmetrie.
> >
> > Dann wäre das Kriterium: Wendepunkt =Symmetriepukt.
> > der Wendepunkt WP(t/0) ist auch hier zusätzlich die
> >Nullstelle N (t/0), diese Verknüpfng hab ich, aber wie
> >kann ich das jetzt nachweisen?
> > >
> > > 2) Jeder Graphen der Funktionen ft schließt mit der x-Achse
> > > zwei Flächen vollständig ein. Deren Gesamtheit sei At.
> > > Begründen Sie,dass für jedes t die beiden Flächen
> > > zueinander kongruent sind. Berechnen Sie den Inhalt At. Für
> > > welchen Wert t ist A=40,5?
> >
> > Die Behauptung folgt aus der Punktsymmetrie. Es muss dann
> > also 3 Nullsellen geben. Der Flächeninhalt zwischen der
> > mittleren und
> > einer äußeren Nullstelle ist dann also 20,25 (Stammfunktin
> > ausstellen und deren Werte der beiden Nullstellen
> > subtrahieren --> das muss 20,25 sein.
> > Wähle dir mal ein beliebiges t und verdeutliche dir das
> am
> > Graphen. Der Wendepunkt liegt z.B. genau in der Mitte
> > zwischen den beiden Extrempunkten.
> >
> > Die 3 Nullstellen hab ich. Kann anhand der Zeichnung auch
> nachvollziehen, dass der Wendepunkt in der Mitte der
> Extrempunkte liegt. Aber ich krieg ein falsches Ergebnis
> raus. Als Grenzen habe ich 0 und t. Da x=t muss ich ja für
> beides den gleichen Wert einsetzen... (?)
> > >
Lass mich mal sehen:
ft(x)=x³-3tx²+2t²x = [mm] x(x^2-3tx+2t^2).
[/mm]
Die erste Nullstelle ist 0.
Die anderen beiden sind [mm] 1,5t\pm\wurzel{2,25t-2t^2}
[/mm]
Eine der Nullstellen soll Symmetriestelle sein? Das ist hier noch nicht ersichtlich. Also: Wendepunkt ermitteln.
f''(x)=6x-6t=0 --> Wendestelle [mm] x_w=t [/mm] (und das soll ja auch Nullstelle sein- aber welche von den dreien?).
Dafür gibt es drei Möglichkeiten.
1) t=0 Das geht, denn dann ist die Fk. einfach [mm] y=x^3, [/mm] und die hat den Wendepunkt und damit den Symmetriepunkt im Ursprung.
2) [mm] t=1,5t+\wurzel{2,25t-2t^2} -->-0,5t=\wurzel{2,25t-2t^2} [/mm] --> auflösen --> Probe nicht vergessen!
3) [mm] t=1,5t-\wurzel{2,25t-2t^2} -->0,5t=\wurzel{2,25t-2t^2} [/mm] --> auflösen --> Probe nicht vergessen!
Viel Vergnügen!
Abakus
> > > 3) Für jedes t schneidet die Wendetangente aus den
> > > Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck aus. Berechnen
> > > Sie den Inhalt der Dreiecksfläche.
> >
> > Tangentengleichung für die mittlere Nullstelle aufstellen!
> >
> > > Für welche Werte von t
> > > ist das Dreieck gleichschenklig?
> >
> > Tangente und x-Achse müssen hier einen 45°-Winkel bilden.
> >
> > >
> > > Die ersten Fragen zu Nullstellen und Extrema hab ich noch
> > > geschafft, aber hier hab ich keinen blassen Schimmer wie
> > > ich die Aufgaben lösen kann.
> > > Wäre super wenn mir jedem den Ansatz oder den ganzen
> > Weg
> > > erklären könnte.
> > >
> > > Zur Punktsymmetrie kenn ich nur f(x) = -f(-x)
> > Das gilt nur, wenn der Symmetriepunkt im
> > Koordinatenursprung liegt.
> > Viele Grüße
> > Abakus.
> >
> > >
> > > mfg Lara
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> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
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>
> Vielen Dank, hat mir geholfen :)
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