Symmetrische Gleichungen < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Di 20.09.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | | [mm] x^3-\bruch{13}{3}*x^2+\bruch{13}{3}*x-1=0 [/mm] |
Hallo,
wie gehe ich da bei Lösen vor?
Durch den "ungeraden" Grad der Gleichung ist ja entweder (-1) oder +1 eine Lösung der Gleichung.
In diesem Fall +1, was ich durch Ausprobieren herausgefunden habe.
Nur wie gehe ich da mathematisch vor? Welche Besonderheiten gilt es zu beachten? Oder soll man das wie gehabt mittels Polynomdivision auf eine Gleichung zweiten Grades bringen und dann mittels Lösungsformel ausrechnen?
Beste Grüße
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Hallo drahmas,
> [mm]x^3-\bruch{13}{3}*x^2+\bruch{13}{3}*x-1=0[/mm]
> Hallo,
>
> wie gehe ich da bei Lösen vor?
> Durch den "ungeraden" Grad der Gleichung ist ja entweder
> (-1) oder +1 eine Lösung der Gleichung.
> In diesem Fall +1, was ich durch Ausprobieren
> herausgefunden habe. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nur wie gehe ich da mathematisch vor? Welche
> Besonderheiten gilt es zu beachten? Oder soll man das wie
> gehabt mittels Polynomdivision auf eine Gleichung zweiten
> Grades bringen und dann mittels Lösungsformel ausrechnen?
So ist es! Spalte mit Polynomdivision den Faktor (x-1) ab.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Di 20.09.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | | [mm] x^5-x^4-x+1=0 [/mm] |
Hallo noch mal,
und danke für die Antwort.
Wenn ich nun aber eine Gleichung fünften Grades habe, müsste ich doch eigentlich mittels dreier Polynomdivisionen auf ein Polynomfunktion zweiten Grades kommen, oder?
Hier gelingt mir das jedoch nicht, da:
[mm] (x^5-x^4-x+1):(x-1)=x^4-1
[/mm]
[mm] \underline{ x^5-x^4}
[/mm]
[mm] \cdots\cdots\cdots-x+1
[/mm]
[mm] \underline{\cdots\cdots\cdots-x+1}
[/mm]
[mm] \cdots\cdots\cdots0\cdots0
[/mm]
Und das lässt sich m.W. nicht weiter dividieren?
Beste Grüße
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> [mm]x^5-x^4-x+1=0[/mm]
> Hallo noch mal,
hallo
>
> und danke für die Antwort.
> Wenn ich nun aber eine Gleichung fünften Grades habe,
> müsste ich doch eigentlich mittels dreier
> Polynomdivisionen auf ein Polynomfunktion zweiten Grades
> kommen, oder?
ja
>
> Hier gelingt mir das jedoch nicht, da:
>
> [mm](x^5-x^4-x+1):(x-1)=x^4-1[/mm]
> [mm]\underline{ x^5-x^4}[/mm]
> [mm]\cdots\cdots\cdots-x+1[/mm]
> [mm]\underline{\cdots\cdots\cdots-x+1}[/mm]
> [mm]\cdots\cdots\cdots0\cdots0[/mm]
>
> Und das lässt sich m.W. nicht weiter dividieren?
kommt doch "glatt" raus, das heisst, [mm] (x-1)*(x^4-1)=x^5-x^4-x+1
[/mm]
mit [mm] x^4-1 [/mm] kannst du nun die nächste stelle raten, oder an das 3. binom denken
>
>
> Beste Grüße
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Di 20.09.2011 | | Autor: | drahmas |
Okay, danke, wenn ich das weiter dividiere, komm ich im letzten Schritt auf [mm] x^2-2x-1,
[/mm]
das ergibt dann mit der p-q Formel [mm] x_{1}=1-\wurzel{2} [/mm] und [mm] x_{2}=1+\wurzel{2}.
[/mm]
Was hat es dann aber mit der Lösung [mm] x_{1}=(-1); x_{2}=1^{2}; x_{3}=i; x_{4}=-i [/mm] auf sich?
In welchem Zusammenhang steht das mit [mm] i^2=-1?
[/mm]
Die ganzen Aufgaben stehen ja im Kapitel zu den komplexen Zahlen im Buch und bisweilen hab ich bei den vorangegangenen Aufgaben nur mit reellen Zahlen rechnen müssen, das kommt mir eh etwas spanisch vor, weil ich eigentlich erwartet hätte dass das nicht der Fall sein dürfte?
Beste Grüße
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Hallo drahmas,
> Okay, danke, wenn ich das weiter dividiere, komm ich im
> letzten Schritt auf [mm]x^2-2x-1,[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Es ist doch [mm] $(x-1)(x^4-1)=(x-1)(x^2-1)(x^2+1)$ [/mm] nach 3. binom. Formel
[mm] $=(x-1)(x-1)(x+1)(x^2+1)$ [/mm] wieder nach 3. binom. Formel
[mm] $=(x-1)^2(x+1)(x^2+1)$
[/mm]
Die NSTen der ersten beiden Summanden kannst du ablesen, $x=1$ (zweifach), $x=-1$ einfach.
Bleibt [mm] $x^2+1=0$, [/mm] also [mm] $x^2=-1$
[/mm]
> das ergibt dann mit der p-q Formel [mm]x_{1}=1-\wurzel{2}[/mm] und
> [mm]x_{2}=1+\wurzel{2}.[/mm]
>
> Was hat es dann aber mit der Lösung [mm]x_{1}=(-1); x_{2}=1^{2}; x_{3}=i; x_{4}=-i[/mm]
> auf sich?
>
> In welchem Zusammenhang steht das mit [mm]i^2=-1?[/mm]
Dazu schaue dir die letzte oben zu lösende Teilgleichung an!
> Die ganzen Aufgaben stehen ja im Kapitel zu den komplexen
> Zahlen im Buch und bisweilen hab ich bei den
> vorangegangenen Aufgaben nur mit reellen Zahlen rechnen
> müssen, das kommt mir eh etwas spanisch vor, weil ich
> eigentlich erwartet hätte dass das nicht der Fall sein
> dürfte?
>
> Beste Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Mi 21.09.2011 | | Autor: | drahmas |
Danke,
das mit der 3. Binomischen Formel versteh ich leider nicht wirklich in dem Zusammenhang.
Wenn ich das herkömmlich, mittels Polynomdivision rechnen würde, ergänze ich dann die fehlenden Glieder einfach nach dem Schema
[mm] (1x^4+0x^3+0x^2+0x-1):(x-1)
[/mm]
oder wie würde ich da weiter rechnen?
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Mi 21.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke,
>
> das mit der 3. Binomischen Formel versteh ich leider nicht
> wirklich in dem Zusammenhang.
Meinst Du das:
[mm] x^4-1=(x^2-1)*(x^2+1)
[/mm]
?
Das kommt von
[mm] $a^2-b^2=(a-b)*(a+b)$ [/mm] mit [mm] a=x^2 [/mm] und b=1.
>
> Wenn ich das herkömmlich, mittels Polynomdivision rechnen
> würde, ergänze ich dann die fehlenden Glieder einfach
> nach dem Schema
>
> [mm](1x^4+0x^3+0x^2+0x-1):(x-1)[/mm]
>
> oder wie würde ich da weiter rechnen?
Wie gewohnt.
FRED
>
> Beste Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Mi 21.09.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
bei der 3. Binomischen Formel, ist mir nicht klar, wie ich damit von einer Polynomfunktion 4. Grades auf eine 3. Grades kommen soll, das kenne ich in der Form nur mittels Polynomdivision.
Wenn ich rechne
[mm] (x^4+0x^3+0x^2+0x-1):(x-1)=x^3+x^2+x+1 [/mm] und wenn ich für "x" (-1) oder 1 einsetze bringt mich das auch nicht weiter? Daher sehe ich jetzt nicht mehr ganz durch?
Danke & beste Grüße
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Hallo,
du hattest
[mm] 0=x^{5}-x^{4}-x-1
[/mm]
[mm] x_1=1
[/mm]
Polynomdivision
[mm] (x^{5}-x^{4}-x-1):(x-1)=x^{4}-1
[/mm]
jetzt Binomische Formel
[mm] (x^{4}-1)=(x^{2}-1)*(x^{2}+1)
[/mm]
jetzt ist doch zu klären, wann
[mm] x^{2}-1=0
[/mm]
[mm] x^{2}+1=0
[/mm]
du kannst natürlich auch eine Nullstelle von [mm] x^{4}-1 [/mm] erraten x=1 und Polynomdivision machen
[mm] (x^{4}-1):(x+1)=x^{3}+x^{2}+x+1
[/mm]
jetzt aber erneut raten, Polynomdivision machen, du bekommst eine quadratische Gleichung, aber warum so umständlich,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Do 22.09.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Es gilt:
[mm] 1x^2-1=0 [/mm] bzw. [mm] -1x^2+1=0
[/mm]
Woraus sich ergibt:
[mm] x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1 \Rightarrow x=\wurzel{-1}
[/mm]
[mm] x^2-1=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\wurzel{1}
[/mm]
Aber die Ergebnisse laut Lösung von [mm] {-1;1^{(2)};i;-i} [/mm] hab ich irgendwie immer noch nicht?
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Do 22.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
>
> Es gilt:
> [mm]1x^2-1=0[/mm] bzw. [mm]-1x^2+1=0[/mm]
>
> Woraus sich ergibt:
> [mm]x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1 \Rightarrow x=\wurzel{-1}[/mm]
>
> [mm]x^2-1=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\wurzel{1}[/mm]
>
> Aber die Ergebnisse laut Lösung von [mm]{-1;1^{(2)};i;-i}[/mm] hab
> ich irgendwie immer noch nicht?
Doch.
[mm]x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1 \Rightarrow x=\pm \wurzel{-1}= \pm i[/mm]
FRED
>
> Beste Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Fr 23.09.2011 | | Autor: | drahmas |
Okay, danke.
Wie verhält sich das dann bei folgender Aufgabe?
[mm] x^5+x^4-x-1=0
[/mm]
Ich habe wiederum eine Polynomdivision durchgeführt und komme auf
[mm] (x^5+x^4-x-1):(x-1)=x^4+2x^3+2x^2+2x+1
[/mm]
Gibt es da jetzt auch eine "Abkürzung" ohne weitere Polynomdivision bzw. wie komm' ich da nun auf das Divisorpolynom? Mit [mm] \pm1 [/mm] ists ja nun nicht mehr getan, da ich ja [mm] x^4, [/mm] also einen geraden Exponenten habe.
Beste Grüße
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Hallo drahmas,
> Okay, danke.
> Wie verhält sich das dann bei folgender Aufgabe?
>
> [mm]x^5+x^4-x-1=0[/mm]
>
> Ich habe wiederum eine Polynomdivision durchgeführt und
> komme auf
>
> [mm](x^5+x^4-x-1):(x-1)=x^4+2x^3+2x^2+2x+1[/mm]
>
> Gibt es da jetzt auch eine "Abkürzung" ohne weitere
> Polynomdivision bzw. wie komm' ich da nun auf das
> Divisorpolynom? Mit [mm]\pm1[/mm] ists ja nun nicht mehr getan, da
> ich ja [mm]x^4,[/mm] also einen geraden Exponenten habe.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Setze mal $x=-1$ ein ...
Mit einfachem "Raten" von ganzzahligen NSTen kommst du schlussendlich auf ein quadrat. Polynom, das du wie üblich verarzten kannst.
>
>
> Beste Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Fr 23.09.2011 | | Autor: | drahmas |
Danke, sorry, hab beim Eintippen eine Klammer weggelassen, daher kam ich nicht auf = Null.
Schlussendlich erhalte ich [mm] x^2+1=0 [/mm] also wiederum [mm] x=\pm\wurzel{-1}
[/mm]
Frage zum Verständnis: zwar ist mir nun klar das [mm] \wurzel{-1} [/mm] in [mm] \IC [/mm] "i" ist, woher aber kommen die anderen beiden Lösungen 1 und vor allem [mm] -1^{(2)} [/mm] bzw. wieso überhaupt ist der Exponent in Klammern?
Bei der vorigen Aufgabe weiter oben war die Lösung ähnlich, nämlich [mm] x=\pm\wurzel{1}, [/mm] was auch wieder "i" sein soll. Warum aber, denn [mm] i^2=-1 [/mm] folglich müsste doch auch nur [mm] \wurzel{-1}=i [/mm] sein, wieso gilt das auch für eine positive Zahl unter der Wurzel?
Beste Grüße…
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Fr 23.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur ersten Aufgabe:
Du hattest [mm] (x-1)*(x^4-1)=(x-1)*((x^2)^2-1)=(x-1)*(x^2-1)*(x^2+1=(x-1)*(x-1)*(x+1)*(x^2+1)
[/mm]
damit hast du die Lösungen x-1=0 x=1, diese Lösung ist eine doppelte Nst, das wurde mit der (2) angezeigt, dann noch x=-1 und [mm] x^2=-1 x=\pm [/mm] i
also die vi5 Nst x1=1,x2=1 x3=-1 x4=+i x5=-1
da kommt nirgends $ [mm] x=\pm\wurzel{1}, [/mm] $ vor!
$ [mm] x=\pm\wurzel{1}, [/mm] $ würde heissen x=1 und x=-1 wenn du [mm] x^2-1=0 [/mm] nicht in (x+1)*(x-1)=0 zerlegst hast du eben [mm] x^2=1 [/mm] und dann $ [mm] x=\pm\wurzel{1}, [/mm] $
das hat aber NICHTS mit den 2 anderen Lösungen zx0i und x0-i zu tun!
auch [mm] (x^2+1)=x^2-i^2 [/mm] kannst du nach 3. bin umformen zu (x+i)*(x-i)
Gruss leduart
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