Symmetrische Gruppe < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:49 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | Hallo an alle,
vieleicht kann mir jemand sagen, wie ich bei einer Symmetrischen Gruppe inverse Elemente berechnen soll.
Also ich habe S3 Symmetrische Gruppe(Permutations Gruppe) und U = [mm] {\pmat{ 1 & 2 &3\\ 1 & 2 & 3 } , \pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1 & 3 }} [/mm] |
ich muss zeigen dass U = [mm] {\pmat{ 1 & 2 &3\\ 1 & 2 & 3 } , \pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1 & 3 }} [/mm] eine U.Gruppe von S3 ist
d.h [mm] {\pmat{ 1 & 2 &3\\ 1 & 2 & 3 } \circ \pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1 & 3 }} [/mm] muss Element von U sein, und ich muss noch fuer jedes Element von U ein inverses Element finden und da hab ich Probleme :(
Und noch eine Frage: ich muss für jedes Element aus U seine Links- und Rechtsnebenklasse angeben. Und wie mache ich das?? Soll ich von der Gruppe S3 jedes Element mit den Elementen aus U verknupfen oder??
Danke vielmals im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:21 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Melisa,
> Hallo an alle,
> vieleicht kann mir jemand sagen, wie ich bei einer
> Symmetrischen Gruppe inverse Elemente berechnen soll.
> Also ich habe S3 Symmetrische Gruppe(Permutations Gruppe)
> und U = [mm]{\pmat{ 1 & 2 &3\\ 1 & 2 & 3 } , \pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1 & 3 }}[/mm]
>
> ich muss zeigen dass U = [mm]{\pmat{ 1 & 2 &3\\ 1 & 2 & 3 } , \pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1 & 3 }}[/mm]
schreibe die Mengenklammern mit Backslash davor:
$$U [mm] =\{\pmat{ 1 & 2 &3\\ 1 & 2 & 3 } , \pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1 & 3 }\}$$
[/mm]
> eine U.Gruppe von S3 ist
> d.h [mm]{\pmat{ 1 & 2 &3\\ 1 & 2 & 3 } \circ \pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1 & 3 }}[/mm]
> muss Element von U sein, und ich muss noch fuer jedes
> Element von U ein inverses Element finden und da hab ich
> Probleme :(
mal zu der Frage hier:
Was ist denn nachzurechnen? $U [mm] \not=\emptyset$ [/mm] muss ja nicht mehr
geprüft werden.
Nun gilt doch bspw., dass [mm] $U\,$ [/mm] eine Untergruppe von [mm] $S3\,$ [/mm] ist genau
dann, wenn für $a,b [mm] \in [/mm] U$ auch $ab [mm] \in [/mm] U$ und [mm] $a^{-1} \in U\,.$ [/mm]
Nunja, was hat man denn zu prüfen:
1.) Man kann für [mm] $a\,$ [/mm] zwei Bijektionen einsetzen:
[mm] $$a=\pmat{ 1 & 2 &3\\ 1 & 2 & 3 } \text{ oder } a=\pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1 & 3 }$$
[/mm]
und analog für [mm] $b\,$:
[/mm]
[mm] $$b=\pmat{ 1 & 2 &3\\ 1 & 2 & 3 } \text{ oder } b=\pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1 & 3 }$$
[/mm]
Dann hat man 4 Verknüpfungen auszurechnen, wenn man unüberlegt
vorgeht.
Und zu den Inversen: Das neutrale in [mm] $S3\,$ [/mm] ist doch eben die Identität,
also einfach die Abbildung
[mm] $$\pmat{ 1 & 2 &3\\ 1 & 2 & 3 }\,.$$
[/mm]
Das Ding ist einfach zu sich selbst invers. Und jetzt berechne mal für
[mm] $$\pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1 & 3 }$$
[/mm]
die Verknüpfung dieses Dingens mit sich selbst (bzw. wenn Du das oben
so getan hast, wie ich es sagte, kannst Du auch einfach da reingucken,
denn das müßtest Du dann da schonmal berechnet haben): Oh wunderbar,
da kommt wieder die Identität raus. Also: Welches Inverse hat [mm] $\pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1 & 3 }$?
[/mm]
P.S. Vielleicht ist Dir das nicht so ganz klar:
[mm] $$\pmat{ 1 & 2 &3\\ 1 & 2 & 3 }$$
[/mm]
ist einfach nur stellvertretend (bzw. eine Notation) für die Abbildung
$$f: [mm] \{1,2,3\} \to \{1,2,3\}$$
[/mm]
mit [mm] $f(1)=1\,, f(2)=2,\,f(3)=3\,.$
[/mm]
Und
[mm] $$\pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1 & 3 }$$
[/mm]
ist einfach nur stellvertretend (bzw. eine Notation) für die Abbildung
$$g: [mm] \{1,2,3\} \to \{1,2,3\}$$
[/mm]
mit [mm] $g(1)=2\,, g(2)=1,\,g(3)=3\,.$
[/mm]
Vielleicht ist Dir damit dann klarer, was
[mm] $${\pmat{ 1 & 2 &3\\ 1 & 2 & 3 } \circ \pmat{ 1 & 2 &3\\ 2 & 1 & 3 }}$$
[/mm]
eigentlich bedeutet:
$$f [mm] \circ [/mm] g: [mm] \{1,2,3\} \to \{1,2,3\}\,.$$
[/mm]
Und dann siehst Du ja sofort: $f [mm] \circ f=f\,,$ [/mm] $f [mm] \circ [/mm] g=g [mm] \circ f=g\,.$ [/mm] $g [mm] \circ g=f\,.$
[/mm]
Bzw. anders gesagt:
Ist [mm] $\sigma: \{1,...,n\} \to \{1,...,n\}$ [/mm] eine Bijektion, so schreibt man diese
auch als
[mm] $$\pmat{ 1 & ... & n\\ \sigma(1) & ... & \sigma(n) }\,.$$
[/mm]
Ich glaube nämlich fast, dass das das einzige hier ist, was Dir unklar
ist/war, und dass Du mit diesem Wissen nun wesentlich besser die Aufgabe
bearbeiten kannst. Oder?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 So 25.11.2012 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | Hallo Marcel,
zu erst danke fuer deine Antwort ich hab alles Verstanden.
Eins was ich noch nicht verstehe ist links und rechts Nebenklassen
Geben Sie für jedes Element aus U seine Links- und Rechtsnebenklasse an. |
Also S3 hat 6 Elementen ja? Soll ich alle 6 Elementen mit der Elemente aus U verknuepfen oder??
Ehrlich gesagt diese Nebenkalssen verstehe ich nicht ganz richtig. Ich hab in Wikipedia auch gesucht aber keine richtige Definition fuer mich gefunden :(
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> Hallo Marcel,
> zu erst danke fuer deine Antwort ich hab alles Verstanden.
> Eins was ich noch nicht verstehe ist links und rechts
> Nebenklassen
> Geben Sie für jedes Element aus U seine Links- und
> Rechtsnebenklasse an.
> Also S3 hat 6 Elementen ja? Soll ich alle 6 Elementen mit
> der Elemente aus U verknuepfen oder??
Um zu zeigen, dass U eine Untergruppe ist muss
[mm] $a,b\in U\implies ab^{-1}\in [/mm] U$
gezeigt werden. Also nimmst du dir nur Elemente aus U vor.
> Ehrlich gesagt diese Nebenkalssen verstehe ich nicht ganz
> richtig. Ich hab in Wikipedia auch gesucht aber keine
> richtige Definition fuer mich gefunden :(
Grob gesagt verschlucken die Nebenklassen Elemente. Hier musst du halt schauen, ob die (hier alle 6 Elemente) von U "verschluckt" werden.
Z.B. ist [mm]\pmat{ 1 & 2 &3\\
1 & 2 & 3 }U=U[/mm], da ja [mm]\pmat{ 1 & 2 &3\\
1 & 2 & 3 }[/mm] in U liegt.
EDIT: Korrigiert. Danke Marcel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 So 25.11.2012 | | Autor: | Melisa |
Hallo wieschoo,
danke dir,
$ [mm] a,b\in U\implies ab\in [/mm] U $ das habe ich schon gezeigt, aber was ich nicht verstehee-um Nebenklassen zu bestimmen welche Elemente muss ich mit welchem verknuepfen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo melisa,
> Hallo wieschoo,
> danke dir,
> [mm]a,b\in U\implies ab\in U[/mm] das habe ich schon gezeigt
vergiss nicht, auch für $a [mm] \in [/mm] U$ zu zeigen, dass [mm] $a^{-1} \in U\,.$ [/mm] Bzw.
das haben wir doch eh schon alles behandelt. Aber lies' Dir bitte die
Definition und alle Charakterisierungen einer Untergruppe GENAU durch,
denn $U [mm] \not=\emptyset$ [/mm] und $a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] ab [mm] \in [/mm] U$ reicht
NICHT, um [mm] $U\,$ [/mm] als Untergruppe zu erkennen:
Wenn, dann ginge das, wenn ihr für nichtleeres [mm] $U\,$ [/mm] anstatt $a,b [mm] \in [/mm] U$
direkt zeigen würdet:
[mm] $$ab^{\red{-1}} \in U\,.$$
[/mm]
Nebenbei: Für $b [mm] \in [/mm] U$ ist [mm] $b^{-1}$ [/mm] das [mm] $b^{-1}$ [/mm] bzgl. $b [mm] \in [/mm] G$
gemeint. Analog ist für $a [mm] \in [/mm] U$ dann das [mm] $a^{-1}$ [/mm] eben das [mm] $a^{-1}\,,$
[/mm]
welches man zu $a [mm] \in [/mm] G$ findet, gemeint. Wenn man also eine Gruppe
[mm] $(G,\circ)$ [/mm] hat und gucken will, ob $U [mm] \subseteq [/mm] G$ eine Untergruppe ist,
wobei man dann eigentlich [mm] $(U,\circ_{|U \times U})$ [/mm] meint:
Wenn ich $a [mm] \in [/mm] U$ habe, dann habe ich natürlich wegen $U [mm] \subseteq [/mm] G$
auch $a [mm] \in G\,.$ [/mm] In [mm] $G\,$ [/mm] kenne ich mich vielleicht schon aus und weiß
dann, was [mm] $a^{-1} \in [/mm] G$ ist. Dann brauch' ich nur noch gucken, ob dieses
[mm] $a^{-1}$ [/mm] auch in [mm] $U\,$ [/mm] liegt.
Warum? Nunja: In Gruppen sind Inverse und neutrale Elemente eindeutig.
Eine Untergruppe ist eine Gruppe, und [mm] $U\,$ [/mm] "erbt" ja gewisse
Eigenschaften, die man in [mm] $G\,$ [/mm] kennt, weil wir eben [mm] $U\,$ [/mm] mit der
Verknüpfung [mm] $\circ\,$ [/mm] "auf [mm] $U\,$ [/mm] bzw. genauer $U [mm] \times [/mm] U$ eingeschränkt"
betrachten. Deswegen braucht man ja auch etwa die Assoziativität nie
nachzurechnen. Nicht ganz klar ist aber, dass [mm] $\circ_{|U \times U}\,,$
[/mm]
welches sicher eine Abbildung mit Definitionsbereich $U [mm] \times [/mm] U$ ist,
auch wieder nach [mm] $U\,$ [/mm] abbildet. Rechnet man aber $a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] ab [mm] \in [/mm] U$
nach, so hat man sich davon überzeugt...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 So 25.11.2012 | | Autor: | wieschoo |
Ich habe es korrigert. Danke.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:16 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo wieschoo,
> > Hallo Marcel,
> > zu erst danke fuer deine Antwort ich hab alles Verstanden.
> > Eins was ich noch nicht verstehe ist links und rechts
> > Nebenklassen
> > Geben Sie für jedes Element aus U seine Links- und
> > Rechtsnebenklasse an.
> > Also S3 hat 6 Elementen ja? Soll ich alle 6 Elementen
> mit
> > der Elemente aus U verknuepfen oder??
> Um zu zeigen, dass U eine Untergruppe ist muss
> [mm]a,b\in U\implies ab\in U[/mm]
> gezeigt werden.
das reicht nicht: $U [mm] \not=\emptyset$ [/mm] muss gelten und zudem muss für
jedes $a [mm] \in [/mm] U$ auch [mm] $a^{-1} \in [/mm] U$ gelten. Aber das habe ich melisa
doch eh schon gesagt.
Was Du vielleicht meintest: [mm] $U\,$ [/mm] Untergruppe genau dann, wenn [mm] $U\,$
[/mm]
nicht leer und für $a,b [mm] \in [/mm] U$ stets [mm] $ab^{\red{-1}} \in U\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 So 25.11.2012 | | Autor: | Melisa |
Hallo Marcel,
das hab ich alles gezeigt was du mir gestern erklaerst hast, jetzt hab ich noch Probleme mit links und rechts nebenklassen,
vorgehensweise ist doch folgende man nimmt ein Element aus der Ober-Gruppe und vernuepft mit dem Element aus dem Untergruppe aber meine Untergruppe besteht aus 2 Elementen, und soll ich diese 6 Elementen aus S3 mit alle beiden Ellementen aus Untergruppe verknupfen???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo melisa,
> Hallo Marcel,
> das hab ich alles gezeigt was du mir gestern erklaerst
> hast, jetzt hab ich noch Probleme mit links und rechts
> nebenklassen,
> vorgehensweise ist doch folgende man nimmt ein Element aus
> der Ober-Gruppe und vernuepft mit dem Element aus dem
> Untergruppe aber meine Untergruppe besteht aus 2 Elementen,
> und soll ich diese 6 Elementen aus S3 mit alle beiden
> Ellementen aus Untergruppe verknupfen???
ja. Ich verstehe aber gerade Dein Problem nicht - ich schreib's mal
"verkürzt" auf:
Du weißt
[mm] $$S3=\{f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6\}$$
[/mm]
mit gewissen [mm] $f_k,$ $k=1,...6\,.$
[/mm]
Jetzt weißt Du
[mm] $$U=\{f,g\}$$
[/mm]
wobei [mm] $f=f_m$ [/mm] und [mm] $g=f_\ell$ [/mm] mit gewissen $m [mm] \not=\ell$ [/mm] und $m, [mm] \ell \in \{1,2,3,4,5,6\}\,.$
[/mm]
Dann ist doch nur
[mm] $$f_1 \circ U=\{f_1 \circ f,\;f_1 \circ g\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$f_2 \circ U=\{f_2 \circ f,\;f_2 \circ g\}\,,$$
[/mm]
$$.$$
$$.$$
$$.$$
[mm] $$f_6 \circ U=\{f_6 \circ f,\;f_6 \circ g\}\,,$$
[/mm]
hinzuschreiben, wenn man alle Linksnebenklassen hinschreiben will.
Und dann wird man sicher [mm] $f_k \circ f\,$ [/mm] und [mm] $f_k \circ [/mm] g$ nochmal
direkt als ein Element aus [mm] $S3\,$ [/mm] kürzer schreiben können, denn
Verknüpfungen von Bijektionen sind doch bijektiv...
Insbesondere, wenn [mm] $f\,$ [/mm] etwa die Identität auf [mm] $S3\,$ [/mm] ist, welche ja
in [mm] $U\,$ [/mm] gelegen war, kann man in
[mm] $$f_1 \circ U=\{f_1 \circ f,\;f_1 \circ g\}$$
[/mm]
doch sofort [mm] $f_1 \circ f=f_1$ [/mm] benutzen. (Entsprechendes auch in den
anderen Linksnebenklassen!) Für weitere Vereinfachungen musst Du
halt am besten [mm] $f_1\,...,f_6$ [/mm] mal alle definieren und gucken, was dann
[mm] $f_1 \circ [/mm] g [mm] \in [/mm] S3$ ergibt, was $g [mm] \circ f_1 \in [/mm] S3$ ist etc.pp.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 So 25.11.2012 | | Autor: | Melisa |
danke dir ich hab es verstanden eendliiichh, danke danke danke Marcel
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