Symmetrische Gruppe S_3 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | | Welche Untergruppen hat die symmetrische Gruppe [mm] S_3? [/mm] |
Hio!
Ich habe 5 Untergruppen gefunden, nämlich:
[mm] U_1=\{id\}, U_2=\{id,(23)(1)\}, U_3=\{id,(12)(3)\}, U_4=\{id,(13)(2)\}, U_5=\{id,(123),(132)\}
[/mm]
1. Frage: Schreibt man das so auf?
2. Frage: Sind die Untergruppen so richtig?
3. Frage: In der vorherigen Teilaufgabe musste man die Verknüpfungstafel für [mm] S_3 [/mm] erstellen.Die habe ich bei dieser Teilaufgabe genutzt und einfach immer geschaut, welche Kombinationen von Verknüpfungen in der Tafel abgeschlossen sind. Nur irgendwie kommt mir diese Methode etwas langwierig vor. Gibt es da auch einen Trick oder eine Abkürzung, sodass man nicht über eine Verknüpfungstafel gehen muss? (Auch im Hinblick zur Klausur ;) )
4. Frage: Gibt es eine Möglichkeit die Anzahl der möglichen Untergruppen zu berechnen? Also über den Satz von Lagrange kann man das Ergebnis im gewissen Maße ja noch kontrollieren, aber die Form der Symmetrischen Gruppe sieht mir so aus, als könne man dabei die Anzahl der Untergruppen vielleicht irgendwie berechen oder so...
Danke ;)
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> Welche Untergruppen hat die symmetrische Gruppe [mm]S_3?[/mm]
> Hio!
> Ich habe 5 Untergruppen gefunden,
Hallo,
merke Dir:
zwei Untergruppen bekommt man ohne jegliche Anstrengung stets geschenkt: die, die nur das neutrale Element enthält und die Gruppe selber. letztere hast Du vergessen.
nämlich:
> [mm]U_1=\{id\}, U_2=\{id,(23)(1)\}, U_3=\{id,(12)(3)\}, U_4=\{id,(13)(2)\}, U_5=\{id,(123),(132)\}[/mm]
>
> 1. Frage: Schreibt man das so auf?
Ja, Du zählst ja hier die Elemente der Gruppen auf, das kannst Du tun.
Statt (2,3)(1) kannst Du auch (2,3) schreiben, die anderen entsprechend, aber falsch ist's nicht, wi Du es hast.
> 2. Frage: Sind die Untergruppen so richtig?
Bis auf die vergssene: ja.
> 3. Frage: In der vorherigen Teilaufgabe musste man die
> Verknüpfungstafel für [mm]S_3[/mm] erstellen.Die habe ich bei dieser
> Teilaufgabe genutzt und einfach immer geschaut, welche
> Kombinationen von Verknüpfungen in der Tafel abgeschlossen
> sind. Nur irgendwie kommt mir diese Methode etwas
> langwierig vor. Gibt es da auch einen Trick oder eine
> Abkürzung, sodass man nicht über eine Verknüpfungstafel
> gehen muss? (Auch im Hinblick zur Klausur ;) )
Deine Vorgehensweise ist schon in Ordnung.
Da Du weißt, daß die Ordnung der Untergruppe ein Teiler der Gruppenordnung ist, gibt es ja gewisse erste Einschränkungen.
Dann kannst Du Dir auch noch die die Ordung der Elemente anschauen:
Ein Element der Ordnung 3 scheidet für eine Untergruppe der Ordnung 2 sofort aus, weil "Element hoch Gruppenordnung" das neutrale ergibt.
> 4. Frage: Gibt es eine Möglichkeit die Anzahl der
> möglichen Untergruppen zu berechnen?
Nicht, daß ich wüßte.
Gruß v. Angela
Also über den Satz von
> Lagrange kann man das Ergebnis im gewissen Maße ja noch
> kontrollieren, aber die Form der Symmetrischen Gruppe sieht
> mir so aus, als könne man dabei die Anzahl der Untergruppen
> vielleicht irgendwie berechen oder so...
>
> Danke ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Pille456 |
Alles klar, danke! ;)
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