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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Es seien n [mm] \in \IN_{>0}, \pi \in S_{n} [/mm] und i [mm] \in [/mm] {1, ..., n}. Ferner sei k [mm] \in \IN_{>0} [/mm] die kleinste Zahl, sodass
[mm] \pi^{k}(i) \in [/mm] {i, [mm] \pi [/mm] (i), [mm] \pi^{2}(i), [/mm] ..., [mm] \pi^{k-1}(i)}. [/mm]
Beweise, dass dann [mm] \pi^{k}(i) [/mm] = i gilt. |
Hallo,
Also die Aufgabe an sich hab ich verstanden und mir is ganz klar, dass es so sein muss, nur fehlt mir noch der Ansatz, wie ich es beweisen soll. Mir ist klar dass [mm] \pi \in S_{n} [/mm] eine Bijektion darstellt und wenn ich die i´s k-mal abbilde , dann komm ich wieder beim i heraus. Ich weiß, dass in der Mengenklammer quasi ein Zyklus steht (wobei ich die Zyklenschreibweise beim Beweis nich verwenden darf), und dieses [mm] \pi^{k-1}(i) [/mm] die letzte Zahl is, die im Zyklus steht und aufs i zurück abbildet. Wär für jeden Ansatz, Hilfe eurerseits dankbar, da ich echt nich weiß, wie ich ansetzen soll.
Vielen Dank schonmal und viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 So 03.05.2009 | | Autor: | andreas |
hi
es ist [mm] $\pi^k(i) [/mm] = [mm] \pi^\ell(i)$ [/mm] für ein [mm] $\ell$ [/mm] mit $0 [mm] \leq \ell \leq [/mm] k$. wende nun auf diese gleichung [mm] $(\pi^\ell)^{-1}$ [/mm] an. was ergibt sich unter verwendung der minimalität von $k$?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 So 03.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Dann ist [mm] (\pi^{k} [/mm] * [mm] (\pi^{l})^{-1}) [/mm] (i) = id (i)= i . Aber ich versteh noch nich wie ich die minimalität von k einbringen soll. Mir is klar, dass [mm] (\pi^{l})^{-1}) [/mm] das Inverse zu [mm] \pi^{k} [/mm] is. Das l müsste meiner Meinung nach also entweder 0 oder k sein.
Könnt mir bitte jemand weiterhelfen.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 So 03.05.2009 | | Autor: | andreas |
hi
etwa durch widerspruch: angenommen es ist [mm] $\pi^k(i) \not= [/mm] i$, dann kannst du $0 < [mm] \ell [/mm] < k$ annehmen und durch die angegebene umformung erhälst du [mm] $\pi^{k - \ell}(i) [/mm] = i [mm] \in \{i, \pi(i), ..., \pi^{k-1}(i) \}$ [/mm] mit $0 < k - [mm] \ell [/mm] < k$.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 03.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Also den Widerspruch versteh ich so weit, was mir noch unklar ist, wo in dem Beweis nun die Minimalität von k eingebracht wurd, bzw. wie man diese Eigenschaft einbringt?
Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 So 03.05.2009 | | Autor: | andreas |
hi
es wird doch ein $m := k - [mm] \ell$ [/mm] erzeugt mit [mm] $\pi^m(i) \in \{i, \pi(i), ..., \pi^{k - 1}(i) \}$, [/mm] welches einen widerspruch zur minimalität von $k$ darstellt. ohne die minimalität würde gar kein widerpruch entstehen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 So 03.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Ich glaub den Widerspruch hab ich doch nich verstanden, es wurd jetz gezeigt, dass es kein m= k-l geben kann, so dass [mm] \pi^{m} [/mm] in der menge liegt, aber ich versteh immer noch nich, wo in dem beweis jetzt gefolgert werden kann, dass [mm] \pi^{k} [/mm] ausgerechnet aufs i und kein anderes Element der Menge abbilden muss, auch wenns mir anhand von Zyklenschreibweise klar is?
Vielen Dank, hab wohl gerade echt nen totalen Blackout, sorry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 So 03.05.2009 | | Autor: | andreas |
hi
schreib doch den beweies einfach mal sauber auf:
sei $k [mm] \in \mathbb{N}_{> 0}$ [/mm] minimal mit [mm] $\pi^k(i) \in \{ i, \pi(i), ..., \pi^{k-1}(i) \}$. [/mm] angenommen [mm] $\pi^k(i) \not= [/mm] i$, dann ist [mm] $\pi^k(i) \in \{ \pi(i), ..., \pi^{k-1}(i) \}$, [/mm] folglich gibt es ein [mm] $\ell$ [/mm] mit $1 [mm] \leq \ell \leq [/mm] k - 1$, so dass [mm] $\pi^k(i) [/mm] = [mm] \pi^\ell(i)$. [/mm] dann ist aber [mm] $\pi^{k - \ell}(i) [/mm] = i [mm] \in \{ i, \pi(i), ..., \pi^{k-\ell-1}(i) \}$, [/mm] wobei $1 [mm] \leq [/mm] k - [mm] \ell [/mm] < k$. dies ist aber ein widerspruch dazu, dass $k$ die kleinste natürliche zahl war mit der eigenschaft, dass [mm] $\pi^k(i) \in \{ i, \pi(i), ..., \pi^{k-1}(i) \}$. [/mm] also muss die annahme [mm] $\pi^k(i) \not= [/mm] i$ falsch gewesen sein.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 So 03.05.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen, jetzt hab ichs verstanden.
Viele Grüße
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