Symmetrische Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Konkretes Beispiel; sei:
[mm] S=\frac{1}{16}\pmat{ 1 & \cdots&1 \\ \vdots & \ddots&\vdots\\1&\cdots&1 }^{16\times 16}, A=\pmat{ I_4 & \cdots&I_4 \\ \vdots & \ddots&\vdots\\I_4&\cdots&I_4 }^{16\times 16} [/mm] und [mm] B=\frac{1}{4}A-S.
[/mm]
[mm] V=\pmat{ \Sigma & & \\ & \ddots&\\&&\Sigma }^{16\times 16} [/mm] mit [mm] \Sigma=\begin{pmatrix}{}
8.6667 & 13.6667 & 15.6667 & 18.0000 \\
13.6667 & 30.0000 & 34.0000 & 29.0000 \\
15.6667 & 34.0000 & 44.6667 & 37.6667 \\
18.0000 & 29.0000 & 37.6667 & 40.6667 \\
\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo Community,
[mm] U=V^{1/2}AV^{1/2} [/mm] ist symmetrisch und diagonalisierbar, d.h. U ist ähnlich zu einer reellen Diagonalmatrix D, wobei auf der Diagonalen von D die Eigenwerte von U stehen. Stimmt das soweit?
Weiter ist der Vektor der Eigenwerte von U:
[mm] \lambda=(1.017287e+01, [/mm] 4.118859e-01, 3.916083e-02, 4.696851e-16, 3.533787e-16, 2.915399e-16, 1.090053e-16 , 7.243143e-17, 5.707770e-17, 4.813781e-17, 3.989036e-17, -1.624809e-16, -2.416059e-16, -3.617562e-16, -3.794843e-16, -5.557605e-16)
Nun nahm ich an, dass U ähnlich zu VA ist. Würde das bedeuten das die Eigenwerte von U und VA gleich sind? Zumindest stimmt deren Summe überein. Für die Eigenwerte von VA erhalte ich:
1.121725e+01+0.00000e+00i 6.515941e+00+0.00000e+00i
1.266814e+00+0.00000e+00i -2.672783e-15+0.00000e+00i
4.064756e-16+0.00000e+00i -2.287853e-16+1.11282e-16i
-2.287853e-16-1.11282e-16i -1.537876e-17+0.00000e+00i
-4.777867e-31+0.00000e+00i 1.044508e-33+0.00000e+00i
-1.908776e-34+0.00000e+00i -9.035539e-35+0.00000e+00i
8.155890e-50+0.00000e+00i -9.680617e-52+0.00000e+00i
3.692103e-52+0.00000e+00i -1.610557e-67+0.00000e+00i
Danach sind die Eigenwerte nicht gleich. Hinzukommt das nicht alle Eigenwerte reell sind, somit ist VA nicht ähnlich zu D, stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Mi 27.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Konkretes Beispiel; sei:
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> [mm]S=\frac{1}{16}\pmat{ 1 & \cdots&1 \\ \vdots & \ddots&\vdots\\1&\cdots&1 }^{16\times 16}, A=\pmat{ I_4 & \cdots&I_4 \\ \vdots & \ddots&\vdots\\I_4&\cdots&I_4 }^{16\times 16}[/mm]
> und [mm]B=\frac{1}{4}A-S.[/mm]
>
> [mm]V=\pmat{ \Sigma & & \\ & \ddots&\\&&\Sigma }^{16\times 16}[/mm]
> mit [mm]\Sigma=\begin{pmatrix}{}
8.6667 & 13.6667 & 15.6667 & 18.0000 \\
13.6667 & 30.0000 & 34.0000 & 29.0000 \\
15.6667 & 34.0000 & 44.6667 & 37.6667 \\
18.0000 & 29.0000 & 37.6667 & 40.6667 \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo Community,
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> [mm]U=V^{1/2}AV^{1/2}[/mm] ist symmetrisch und diagonalisierbar,
> d.h. U ist ähnlich zu einer reellen Diagonalmatrix D,
> wobei auf der Diagonalen von D die Eigenwerte von U stehen.
> Stimmt das soweit?
>
Ja
> Weiter ist der Vektor der Eigenwerte von U:
>
> [mm]\lambda=(1.017287e+01,[/mm] 4.118859e-01, 3.916083e-02,
> 4.696851e-16, 3.533787e-16, 2.915399e-16, 1.090053e-16 ,
> 7.243143e-17, 5.707770e-17, 4.813781e-17, 3.989036e-17,
> -1.624809e-16, -2.416059e-16, -3.617562e-16, -3.794843e-16,
> -5.557605e-16)
>
> Nun nahm ich an, dass U ähnlich zu VA ist. Würde das
> bedeuten das die Eigenwerte von U und VA gleich sind?
> Zumindest stimmt deren Summe überein. Für die Eigenwerte
> von VA erhalte ich:
>
> 1.121725e+01+0.00000e+00i 6.515941e+00+0.00000e+00i
> 1.266814e+00+0.00000e+00i -2.672783e-15+0.00000e+00i
> 4.064756e-16+0.00000e+00i -2.287853e-16+1.11282e-16i
> -2.287853e-16-1.11282e-16i -1.537876e-17+0.00000e+00i
> -4.777867e-31+0.00000e+00i 1.044508e-33+0.00000e+00i
> -1.908776e-34+0.00000e+00i -9.035539e-35+0.00000e+00i
> 8.155890e-50+0.00000e+00i -9.680617e-52+0.00000e+00i
> 3.692103e-52+0.00000e+00i -1.610557e-67+0.00000e+00i
>
> Danach sind die Eigenwerte nicht gleich. Hinzukommt das
> nicht alle Eigenwerte reell sind, somit ist VA nicht
> ähnlich zu D, stimmt das soweit?
Ja, wenn Deine Rechnungen stimmen.
FRED
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| Aufgabe | Überlegungen:
Sei [mm] x\sim\mathcal{N}_n(0,V) [/mm] und B eine symmetrische Matrix mit Rang(M)=n, dann ist [mm] x^TBx=(V^{1/2} y)^TB(V^{1/2} y)=y^TV^{1/2}BV^{1/2} [/mm] y, wobei [mm] y\sim\mathcal{N}_n(0,I_n).
[/mm]
Setze [mm] U=V^{1/2}BV^{1/2}, [/mm] dann ist U symmetrisch und es existiert eine orthogonale Matrix P, so dass [mm] D=P^TUP\Leftrightarrow PDP^T=U [/mm] eine reelle Diagonalmatrix ist und die Diagonaleinträge von D die Eigenwerte von U sind.
Wegen der Orthogonalität von [mm] P^T [/mm] und weil die Normalverteilung invariant gegenüber linearen Transformationen ist gilt mit [mm] z\sim\mathcal{N}_n(0,I_n):
[/mm]
[mm] y^TUy=y^TPDP^Ty=(P^Ty)^TDP^Ty=z^TDz=\sum_{i=1}^n\lambda_iz_i^2. [/mm] |
Hi FRED,
meine Rechnungen haben mEn keinen Fehler, wobei meine Ausführungen im Startbeitrag einen Fehler haben (mit U meinte ich [mm] V^{1/2}BV^{1/2}). [/mm] Ich schreibe es einmal Schritt für Schritt hin. Die Rechnung stützt sich auf die im Aufgabenteil angeführten Überlegungen.
Wenn ich nun B, V und [mm] \Sigma [/mm] wie im Startbeitrag wähle und an den Eigenwerten [mm] \lambda_i [/mm] interessiert bin, die in der Summe [mm] \sum_{i=1}^n\lambda_iz_i^2 [/mm] vorkommen, dann sind das doch die Eigenwerte von [mm] $V^{1/2}BV^{1/2}$, [/mm] falls ich eine [mm] x\sim\mathcal{N}_n(0,V)-verteilte [/mm] ZG vorliegen habe?
Meine Rechnungen dazu habe ich in R durchgeführt:
S=matrix(1/16,16,16)
h=rbind(cbind(diag(1,4),diag(1,4)),cbind(diag(1,4),diag(1,4)))
A=rbind(cbind(h,h),cbind(h,h))
B=1/4*A-S
Sigma=matrix(c(8.6667, 13.6667, 15.6667, 18.0000, 13.6667, 30.0000, 34.0000, 29.0000, 15.6667, 34.0000, 44.6667, 37.6667, 18.0000,29.0000,37.6667,40.6667),4,4)
h=matrix(0,4,4)
V=cbind(rbind(Sigma,h,h,h),rbind(h,Sigma,h,h),rbind(h,h,Sigma,h),rbind(h,h,h,Sigma))
eigen(V^(1/2)%*%B%*%V^(1/2))$values
Falls meine Überlegungen und Rechnungen keinen Fehler enthalten, dann ist die Matrix VB nicht ähnlich zur Matrix [mm] V^{1/2}BV^{1/2}?
[/mm]
Jetzt trotzdem noch einmal die Frage: ist die Matrix VB ähnlich zu [mm] V^{1/2}BV^{1/2}?
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 29.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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