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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 So 24.06.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Für die folgende symmetrische Matrix
A= [mm] \pmat{ -1 & 0 &0 \\ 0 & -4 &0 \\0&0&-9 }
[/mm]
bestimme eine invertierbare Matrix S [mm] \in GL_3 (\IC) [/mm] sodass [mm] S^t [/mm] A S = [mm] \pmat{ I_k & 0 \\ 0& 0 } [/mm] |
Dafür gibt es doch eine ARt kochrezept, aber ich verstehe die erklärung in meinen SKrtiptum dazu nicht!
rank(A)=3
-> [mm] [\beta_A]_B [/mm] = [mm] I_3
[/mm]
[mm] S^t [/mm] A S = [mm] I_3
[/mm]
[mm] \beta_A (e_1 [/mm] , [mm] e_1 [/mm] )= [mm] e^t_1 [/mm] A [mm] e_1 [/mm] = -1 [mm] \not= [/mm] 0
so können wir [mm] b_1 [/mm] = [mm] e_1 [/mm] als ersten Basisvektor verwenden,
[mm] b_1 =\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Es ist nun [mm] b_2 [/mm] so zu bestimmen, dass [mm] \beta_A (b_1 [/mm] , [mm] b_2 [/mm] ) =0 und [mm] \beta_A (b_2, b_2 )\not= [/mm] 0
d.h. [mm] e^t_1 [/mm] A [mm] b_2 [/mm] =0
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] b_2 [/mm] =0 -> erste Koordiantev von [mm] b_2 [/mm] ist 0
und [mm] b^t_2 [/mm] A [mm] b_2 \not= [/mm] 0 d.h. [mm] -4y^2 [/mm] - [mm] 9z^2 \not= [/mm] 0
=> [mm] b_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Danach ist [mm] b_3 [/mm] zu bestimmen, dass [mm] \beta(b_1 [/mm] , [mm] b_3 [/mm] ) =0= [mm] \beta(b_2 [/mm] , [mm] b_3 [/mm] ) und [mm] \beta(b_3 [/mm] , [mm] b_3 [/mm] ) [mm] \not= [/mm] 0
dh [mm] e_1^t [/mm] A [mm] b_3 [/mm] =0 -> erste Komponente x von [mm] b_3 [/mm] ist 0
und [mm] e_2^t [/mm] A [mm] b_3 [/mm] =0 -> zweite Komponente y von [mm] b_3 [/mm] ist 0
und [mm] b_3^t [/mm] A [mm] b_3 \not= [/mm] 0 -> [mm] -9z^2 \not= [/mm] 0
[mm] b_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Oder? Gibt es für die bestimmung der [mm] b_i [/mm] eine Einfachere Rechnung?
Liebe Grüße
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Das geht auch durch hinsehen:
[mm] \pmat{ -1 & 0 &0 \\
0 & -4 &0 \\
0&0&-9 } [/mm]
--> [mm]\underbrace{ \pmat{ i & 0 &0 \\
0 & 1 &0 \\
0&0&1} }_{S_1^T} \pmat{ -1 & 0 &0 \\
0 & -4 &0 \\
0&0&-9 } \underbrace{ \pmat{ i & 0 &0 \\
0 & 1 &0 \\
0&0&1 } }_{S_1}=\pmat{ 1 & 0 &0 \\
0 & 1 &0 \\
0&0&-9 }[/mm]
--> [mm]\underbrace{ \pmat{ 1 & 0 &0 \\
0 & 0.5i &0 \\
0&0&1} }_{S_2^T} \pmat{ 1 & 0 &0 \\
0 & -4 &0 \\
0&0&-9 } \underbrace{ \pmat{ 1 & 0 &0 \\
0 & 0.5i &0 \\
0&0&1 } }_{S_2}=\pmat{ 1 & 0 &0 \\
0 & 1 &0 \\
0&0&-9 }[/mm]
...
und multiplizierst die [mm] $S_i$ [/mm] auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 24.06.2012 | | Autor: | sissile |
Durch hinsehen, verstehe ich das nicht ganz.
Aber mal die wichtigste Frage: STimmt meine Lösung in beitrag 1??
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Hi,
> Durch hinsehen, verstehe ich das nicht ganz.
Am Ende soll in der Matrix der erste Eintrag gleich 1 sein. Um von -1 auf 1 zu kommen multipliziert man mit -1, also
(-1)*(-1)=1. Die -1 teilt man dann auf in i*i=-1 und hat 1 = i * (-1) * i.
> Aber mal die wichtigste Frage: STimmt meine Lösung in
> beitrag 1??
du möchtest aus deinen [mm] $b_i$'s [/mm] dann die Matrix bestimmen? Wie sollte dann deine Matrix aussehen? Da war keine Lösung. Wie sieht dein S aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 So 24.06.2012 | | Autor: | sissile |
Was heißt da war keine Lösung?
1 Post!
S= [mm] (b_1, b_2 [/mm] , [mm] b_3)
[/mm]
und diese habe ich mit der Methode aus der Vorlesung berechnet. Nun frage ich ob das stimmt oder nicht..
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Nadann rechne doch mal für[mm](b_1 b_2 b3_)=\pmat{1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1}[/mm]:
[mm]\pmat{1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1}\pmat{ -1 & 0 &0 \\
0 & -4 &0 \\
0&0&-9 } \pmat{1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1}[/mm]
Wenn du es nach der Methode der Vorlesung machst, kommst du doch auf:
[mm]e_1^TAe_1\overset{!}{=}-1[/mm], also [mm]e_1=(i,0,0)^T[/mm]
und analog dazu die [mm] $e_2,e_3$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 So 24.06.2012 | | Autor: | sissile |
Warum nicht -1?
[mm] e_1^t [/mm] * A [mm] =\vektor{1 & 0 &0}*\pmat{ -1 & 0 &0 \\ 0 & -4 &0 \\ 0&0&-9 } [/mm] = [mm] \vektor{-1 & 0 &0}
[/mm]
[mm] \vektor{-1 & 0 &0} [/mm] * [mm] e_1 [/mm] = [mm] \vektor{-1 & 0 &0} [/mm] * [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] = -1
WO ist da grad mein denkfehler? Ich stehe gerade am schlauch denke ich^^
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Was rechnest du da überhaupt?
> [mm]e_1^t[/mm] * A [mm]=\vektor{1 & 0 &0}*\pmat{ -1 & 0 &0 \\
0 & -4 &0 \\
0&0&-9 }[/mm] = [mm]\vektor{-1 & 0 &0}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-1 & 0 &0}[/mm] * [mm]e_1[/mm] = [mm]\vektor{\red{-1} & 0 &0}[/mm] *
Bei dir verändern sich die Einträge, wenn du den Vektor transponierst. Das ist leider völlig falsch.
> [mm]\vektor{\red{1}\\
0\\
0}[/mm] = -1
>
> WO ist da grad mein denkfehler? Ich stehe gerade am
> schlauch denke ich^^
Ja aber auf einem großen Schlauch! Bei dir ändern sich da die Vorzeichnen nach Lust und Laune.
Wenn bei dir [mm]e_1=\pmat{\blue{-1}\\
0\\
0}[/mm] ist, dann muss auch bei dir [mm]e_1^T=\pmat{\blue{-1}&0&0}[/mm] sein!
Rechnet man nun mit deinem Vektor:
[mm]e_1^TAe_1=\pmat{-1&0&0}\pmat{ -1 & 0 &0 \\
0 & -4 &0 \\
0&0&-9 }\pmat{-1\\
0\\
0}=-1\neq 1[/mm]
Und das war nicht gesucht.
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Noch einmal: Es ist
[mm]e_1=\pmat{i\\
0\\
0}[/mm]
Damit hat man nämlich
[mm]\pmat{i&0&0}\pmat{ -1 & 0 &0 \\
0 & -4 &0 \\
0&0&-9 }\pmat{i\\
0\\
0}=1[/mm]
Und das möchte man auch haben.
Gruß
wieschoo
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:07 So 24.06.2012 | | Autor: | sissile |
Bei mir verändert sich gar nichts auf Lust un Laune - ich glaube du verstehst mich falsch
[mm] e_1^t [/mm] A * [mm] e_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 & 0 & 0}*A [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = -1
[mm] e_i [/mm] ist doch immer festgelegt als Vektor der in der i- ten Zeile eine 1 hat und sonst nur 0er...
> $ [mm] \pmat{i\\ 0\\ 0}\pmat{ -1 & 0 &0 \\ 0 & -4 &0 \\ 0&0&-9 }\pmat{i&0&0}=1 [/mm] $
Es gehört doch der erste Vektor transponiert?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:27 So 24.06.2012 | | Autor: | sissile |
SO ich probiere das ganze nochmal:
S = [mm] (b_1 [/mm] , [mm] b_2 [/mm] , [mm] b_3 [/mm] )
-> [mm] b_1^t [/mm] A [mm] b_1 [/mm] = 1
wähle [mm] b_1 =\vektor{i \\ 0 \\0}
[/mm]
-> [mm] b_2 [/mm] zu wählen
so dass [mm] \beta_A (b_1 [/mm] , [mm] b_2 [/mm] ) =0
und [mm] \beta_A (b_2 [/mm] , [mm] b_2 [/mm] ) = 1
wähle [mm] b_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\0,5 i\\0}
[/mm]
-> [mm] b_3 [/mm] zu wählen
so dass [mm] \beta_A (b_1 [/mm] , [mm] b_3 [/mm] ) = [mm] \beta_A (b_2, b_3)
[/mm]
d.h. x und y Koordiante von [mm] b_3 [/mm] muss 0 sein
[mm] \beta_A (b_3 [/mm] , [mm] b_3 [/mm] ) =1
<=>
(0, 0 ,z ) * A * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ z}=1
[/mm]
<=>
(0 , 0 , -9z) * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ z} [/mm] =1
<=>
[mm] -9z^2 [/mm] = 1
WIe wähle ich nun z??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 So 24.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
[mm]9z^2=-1[/mm]
[mm]z\in\IC[/mm]!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 So 24.06.2012 | | Autor: | sissile |
STimmt also [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] ?
z = [mm] \sqrt{-1/9}
[/mm]
z= [mm] \sqrt{i^2/9} [/mm] = [mm] \frac{i}{\sqrt{9}}
[/mm]
so ?
[mm] S=\pmat{i &0&0\\ 0&0,5 i&0 \\0&0& \frac{i}{\sqrt{9}}}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:34 Mo 25.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
Jetzt mal im vollen Ernst. Das ist doch "nur" eine Rechenaufgabe.
Damit meine ich, dass es hier glücklicherweise einfach ist Ergebnisse selbst zu überprüfen.
Du brauchst doch nur schauen, ob S invertierbar ist und die Proberechnung durchführen.
Gruß
Wieschoo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mo 25.06.2012 | | Autor: | sissile |
Die proberechnung war bei mir falsch, deshalb frage ich ja nochmals. Ich komme aber immer auf die selben Werte wie in der Mitteilung, lg
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Gesucht ist eine Matrix [mm]S\in\operatorname{GL}_3(\IC)[/mm], sodass gilt:
[mm]S^T\underbrace{\pmat{ -1 & 0 &0 \\
0 & -4 &0 \\
0&0&-9 }}_{A} S=\pmat{ 1 & 0 &0 \\
0 & 1 &0 \\
0&0&1 }[/mm]
Du hast nun
[mm]S=\pmat{|&|&| \\
b_1&b_2&b_3\\
|&|&|}=\pmat{ i & 0&0 \\
0 & \frac{1}{2}i&0 \\
0&0&\frac{1}{3}i} [/mm]
Probe:
[mm]S^TAS=\pmat{ i & 0&0 \\
0 & \frac{1}{2}i&0 \\
0&0&\frac{1}{3}i}\pmat{ -1 & 0 &0 \\
0 & -4 &0 \\
0&0&-9 }\pmat{ i & 0&0 \\
0 & \frac{1}{2}i&0 \\
0&0&\frac{1}{3}i}=\pmat{ i & 0&0 \\
0 & \frac{1}{2}i&0 \\
0&0&\frac{1}{3}i}\pmat{ -i & 0&0\\
0 & -2i&0\\
0&0&-3i } \pmat{ 1 & 0 &0 \\
0 & 1 &0 \\
0&0&1 }[/mm]
und alles passt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 26.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 So 24.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
> Es gehört doch der erste Vektor transponiert?
Habe ich korrigiert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 26.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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