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| Aufgabe | Betrachte die Erhaltungsgleichung [mm] $u_t+f(u)_x=0$ [/mm] in [mm] $\mathbb{R}\times \mathbb{R}_+$ [/mm] mit $u: [mm] \mathbb{R}\times \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}^n, f\in C^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$. [/mm]
Gegeben sei ein Funktionenpaar $(U,F) [mm] \in C^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^2)$, [/mm] wobei U strikt konvex ist und $DU(u)Df(u)=DF(u)$ für alle $u [mm] \in \mathbb{R}^n$ [/mm] gilt.
Zeigen Sie, dass $Df(u)$ für alle $u [mm] \in \mathbb{R}^n$ [/mm] reell diagonalisierbar ist. |
Hallo,
die Vorgehensweise soll folgendermaßen sein: Man zeigt, dass $D^2U(u)Df(u)$ symmetrisch ist.
Das habe ich noch nicht geschafft. Vielleicht kann mir da jemand helfen?
Angenommen also $D^2U(u)Df(u)$ ist symmetrisch. Aufgrund der strikten Konvexität ist $D^2U(u)$ positiv definit, d.h. es gibt eine Matrix $A$ mit
[mm] $A^2=(D^2U(u))^{-1}$.
[/mm]
Da $D^2U(u)Df(u)$ symmetrisch, gibt es eine Diagonalmatrix P und eine orthogonale Matrix S, s.d. [mm] $D^2U(u)Df(u)=SPS^T$. [/mm] Zusammen also:
[mm] $Df(u)=A^2SPS^T$. [/mm] Jetzt habe ich rechts schonmal ein Produkt symmetrischer Matrizen stehen. Damit kann ich jetzt aber nicht so einfach was anfangen. Wieso sollte das also ähnlich zu einer Diagonalmatrix sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 08.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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