System von DGL der Ordnung 2 < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen der Ordnung 2:
[mm] y_{1}''(x) [/mm] = [mm] y_{1}'(x)x [/mm] + [mm] y_{2}(x),
[/mm]
[mm] y_{2}''(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 3y_{2}(x) [/mm] - 2.
Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens mit Startwerten [mm] y_{1}(1) [/mm] = 1, [mm] y_{1}'(1) [/mm] = 2, [mm] y_{2}(1) [/mm] = -1, [mm] y_{2}'(1) [/mm] = 1 und Schrittweite h = 1 aus. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
bei dieser Altklausuraufgabe wissen wir nicht ob wir die beiden Gleichungen gemeinsam betrachten müssen, oder ob wir sie auch getrennt betrachten können, indem wir zum Beispiel in der 1. Gleichung [mm] y_{2}(x) [/mm] durch [mm] y_{1}'(x) [/mm] ersetzen.
Zur ersten Teilaufgabe haben wir auch schon eine Lösung gefunden (für den Fall, dass die getrennte Betrachtung korrekt ist):
Wir haben bei der getrennten Betrachtung dann bei jeder Geichung die Indices weggelassen um Verwirrung zu vermeiden.
Für die erste Gleichung:
y'' = y'(x)x + y'(x)
[mm] y_{0}'(x) [/mm] = [mm] y_{1}(x)
[/mm]
[mm] y_{1}'(x) [/mm] = [mm] y_{0}'(x) [/mm] + [mm] y_{0}'(x)
[/mm]
Für die zweite Gleichung:
y''(x) = [mm] x^{2} [/mm] + 3y(x) - 2
[mm] y_{0}'(x) [/mm] = [mm] y_{1}(x)
[/mm]
[mm] y_{1}'(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 3y_{0}(x) [/mm] - 2
Ist das nun soweit korrekt im Sinne der Tranformation in ein System 1. Ordnung?
Danke schonmal für eure Bemühungen.
|
|
| |
|
Hallo schneidross,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen
> der Ordnung 2:
>
> [mm]y_{1}''(x)[/mm] = [mm]y_{1}'(x)x[/mm] + [mm]y_{2}(x),[/mm]
> [mm]y_{2}''(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]3y_{2}(x)[/mm] - 2.
>
> Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1.
> Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens
> mit Startwerten [mm]y_{1}(1)[/mm] = 1, [mm]y_{1}'(1)[/mm] = 2, [mm]y_{2}(1)[/mm] = -1,
> [mm]y_{2}'(1)[/mm] = 1 und Schrittweite h = 1 aus.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen,
>
> bei dieser Altklausuraufgabe wissen wir nicht ob wir die
> beiden Gleichungen gemeinsam betrachten müssen, oder ob
> wir sie auch getrennt betrachten können, indem wir zum
Die beiden Gleichungen sind gemeinsam zu betrachten.
> Beispiel in der 1. Gleichung [mm]y_{2}(x)[/mm] durch [mm]y_{1}'(x)[/mm]
> ersetzen.
>
> Zur ersten Teilaufgabe haben wir auch schon eine Lösung
> gefunden (für den Fall, dass die getrennte Betrachtung
> korrekt ist):
>
> Wir haben bei der getrennten Betrachtung dann bei jeder
> Geichung die Indices weggelassen um Verwirrung zu
> vermeiden.
>
> Für die erste Gleichung:
> y'' = y'(x)x + y'(x)
>
> [mm]y_{0}'(x)[/mm] = [mm]y_{1}(x)[/mm]
> [mm]y_{1}'(x)[/mm] = [mm]y_{0}'(x)[/mm] + [mm]y_{0}'(x)[/mm]
Hier muss stehen:
[mm]y_{1}'(x)= \blue{x}*y_{\red{1}}(x) + y_{\red{1}}(x)[/mm]
>
> Für die zweite Gleichung:
> y''(x) = [mm]x^{2}[/mm] + 3y(x) - 2
>
> [mm]y_{0}'(x)[/mm] = [mm]y_{1}(x)[/mm]
> [mm]y_{1}'(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]3y_{0}(x)[/mm] - 2
>
> Ist das nun soweit korrekt im Sinne der Tranformation in
> ein System 1. Ordnung?
Wenn diese zwei Gleichungen jeweils für sich betrachtet werden,
dann stimmt das bis auf die angebrachten Korrekturen.
>
> Danke schonmal für eure Bemühungen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen der Ordnung 2:
[mm] y_{1}''(x) [/mm] = [mm] y_{1}'(x)x [/mm] + [mm] y_{2}(x),
[/mm]
[mm] y_{2}''(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 3y_{2}(x) [/mm] - 2.
Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens mit Startwerten
[mm] y_{1}(1) [/mm] = 1, [mm] y_{1}'(1) [/mm] = 2, [mm] y_{2}(1) [/mm] = -1, [mm] y_{2}'(1) [/mm] = 1 und Schrittweite h = 1 aus. |
Hallo MathePower,
vielen Dank für deine schnelle Antwort! Das von dir blau hervorgehobene x war leider ein Tippfehler meinerseits.
Ok, da ich die Gleichungen also gemeinsam betrachten muss stellt sich mir nun die Frage, wie ich das anstellen soll. Soll ich die zweite Gleichung vielleicht nach [mm] y_{2}(x) [/mm] umformen und in die erste Gleichung einsetzen?
Eine andere Idee fällt mir dazu leider nicht ein.
Viele Grüße,
schneidross
|
|
|
| |
|
Hallo schneidross,
> Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen
> der Ordnung 2:
>
> [mm]y_{1}''(x)[/mm] = [mm]y_{1}'(x)x[/mm] + [mm]y_{2}(x),[/mm]
> [mm]y_{2}''(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]3y_{2}(x)[/mm] - 2.
>
> Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1.
> Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens
> mit Startwerten
>
> [mm]y_{1}(1)[/mm] = 1, [mm]y_{1}'(1)[/mm] = 2, [mm]y_{2}(1)[/mm] = -1, [mm]y_{2}'(1)[/mm] = 1
> und Schrittweite h = 1 aus.
> Hallo MathePower,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort! Das von dir blau
> hervorgehobene x war leider ein Tippfehler meinerseits.
>
> Ok, da ich die Gleichungen also gemeinsam betrachten muss
> stellt sich mir nun die Frage, wie ich das anstellen soll.
> Soll ich die zweite Gleichung vielleicht nach [mm]y_{2}(x)[/mm]
> umformen und in die erste Gleichung einsetzen?
Mit Umformen hat das nichts zu tun.
Wähle hier z.B.
[mm]u_{0}=y_{1},u_{1}=y_{1}'=u_{0}'[/mm]
[mm]v_{0}=y_{1},v_{1}=y_{2}'=v_{0}'[/mm]
Dann kannst Du das obige System von DGLn 2. Ordnung
in ein System von DGLn 1. Ordnung umschreiben.
>
> Eine andere Idee fällt mir dazu leider nicht ein.
>
> Viele Grüße,
> schneidross
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo MathePower
> Hallo schneidross,
>
> > Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen
> > der Ordnung 2:
> >
> > [mm]y_{1}''(x)[/mm] = [mm]y_{1}'(x)x[/mm] + [mm]y_{2}(x),[/mm]
> > [mm]y_{2}''(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]3y_{2}(x)[/mm] - 2.
> >
> > Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1.
> > Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens
> > mit Startwerten
> >
> > [mm]y_{1}(1)[/mm] = 1, [mm]y_{1}'(1)[/mm] = 2, [mm]y_{2}(1)[/mm] = -1, [mm]y_{2}'(1)[/mm] = 1
> > und Schrittweite h = 1 aus.
> > Hallo MathePower,
> >
> > vielen Dank für deine schnelle Antwort! Das von dir blau
> > hervorgehobene x war leider ein Tippfehler meinerseits.
> >
> > Ok, da ich die Gleichungen also gemeinsam betrachten muss
> > stellt sich mir nun die Frage, wie ich das anstellen soll.
> > Soll ich die zweite Gleichung vielleicht nach [mm]y_{2}(x)[/mm]
> > umformen und in die erste Gleichung einsetzen?
>
>
> Mit Umformen hat das nichts zu tun.
>
> Wähle hier z.B.
>
> [mm]u_{0}=y_{1},u_{1}=y_{1}'=u_{0}'[/mm]
>
> [mm]v_{0}=y_{1},v_{1}=y_{2}'=v_{0}'[/mm]
Meine erste Frage: Gehe ich recht in der Annahme, dass an dieser Stelle eigentlich folgendes stehen sollte:
[mm]v_{0}=y_{2},v_{1}=y_{2}'=v_{0}'[/mm] ?
> Dann kannst Du das obige System von DGLn 2. Ordnung
> in ein System von DGLn 1. Ordnung umschreiben.
>
>
> >
> > Eine andere Idee fällt mir dazu leider nicht ein.
> >
> > Viele Grüße,
> > schneidross
>
>
> Gruss
> MathePower
Dann meine zweite Frage: wenn ich die Umformulierung so handhabe wie du es vorschlägst, dann komme ich auf die folgenden zwei Gleichungen:
[mm] y_{1}''(x) [/mm] = [mm] u_{1}(x)x [/mm] + [mm] v_{0}(x)
[/mm]
[mm] y_{2}''(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 3v_{0}(x) [/mm] - 2
Insbesondere habe ich nicht die geringste Ahnung, was [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] sein sollen. Wie kann ich die DGLn nun ein ein System 1. Ordnung transformieren?
Viele Grüße,
schneidross
PS.: Wie färbe ich Indices in einer Formel z.B. blau?
|
|
|
| |
|
Hallo schneidross,
> Hallo MathePower
>
> > Hallo schneidross,
> >
> > > Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen
> > > der Ordnung 2:
> > >
> > > [mm]y_{1}''(x)[/mm] = [mm]y_{1}'(x)x[/mm] + [mm]y_{2}(x),[/mm]
> > > [mm]y_{2}''(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]3y_{2}(x)[/mm] - 2.
> > >
> > > Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1.
> > > Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens
> > > mit Startwerten
> > >
> > > [mm]y_{1}(1)[/mm] = 1, [mm]y_{1}'(1)[/mm] = 2, [mm]y_{2}(1)[/mm] = -1, [mm]y_{2}'(1)[/mm] = 1
> > > und Schrittweite h = 1 aus.
> > > Hallo MathePower,
> > >
> > > vielen Dank für deine schnelle Antwort! Das von dir blau
> > > hervorgehobene x war leider ein Tippfehler meinerseits.
> > >
> > > Ok, da ich die Gleichungen also gemeinsam betrachten muss
> > > stellt sich mir nun die Frage, wie ich das anstellen soll.
> > > Soll ich die zweite Gleichung vielleicht nach [mm]y_{2}(x)[/mm]
> > > umformen und in die erste Gleichung einsetzen?
> >
> >
> > Mit Umformen hat das nichts zu tun.
> >
> > Wähle hier z.B.
> >
> > [mm]u_{0}=y_{1},u_{1}=y_{1}'=u_{0}'[/mm]
> >
> > [mm]v_{0}=y_{1},v_{1}=y_{2}'=v_{0}'[/mm]
>
> Meine erste Frage: Gehe ich recht in der Annahme, dass an
> dieser Stelle eigentlich folgendes stehen sollte:
Ja, die Annahme ist richtig.
>
> [mm]v_{0}=y_{2},v_{1}=y_{2}'=v_{0}'[/mm] ?
>
> > Dann kannst Du das obige System von DGLn 2. Ordnung
> > in ein System von DGLn 1. Ordnung umschreiben.
> >
> >
> > >
> > > Eine andere Idee fällt mir dazu leider nicht ein.
> > >
> > > Viele Grüße,
> > > schneidross
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Dann meine zweite Frage: wenn ich die Umformulierung so
> handhabe wie du es vorschlägst, dann komme ich auf die
> folgenden zwei Gleichungen:
>
> [mm]y_{1}''(x)[/mm] = [mm]u_{1}(x)x[/mm] + [mm]v_{0}(x)[/mm]
> [mm]y_{2}''(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]3v_{0}(x)[/mm] - 2
Wenn Du die Substitutionen, wie oben angegeben,
verwendest, dann steht da:
[mm]\blue{u_{1}}'(x) = u_{1}(x)*x + v_{0}(x)[/mm]
[mm]\blue{v_{1}}'(x) = x^{2} + 3v_{0}(x) - 2[/mm]
Zusätzlich zu diesen zwei Gleichungen hast Du noch
[mm]u_{0}'(x) = u_{1}(x)[/mm]
[mm]v_{0}'(x) = v_{1}(x)[/mm]
>
> Insbesondere habe ich nicht die geringste Ahnung, was [mm]u[/mm] und
> [mm]v[/mm] sein sollen. Wie kann ich die DGLn nun ein ein System 1.
> Ordnung transformieren?
Damit ergibt sich folgendes System 1. Ordnung:
[mm]u_{0}'(x) = u_{1}(x)[/mm]
[mm]u_{1}'(x) = u_{1}(x)*x + v_{0}(x)[/mm]
[mm]v_{0}'(x) = v_{1}(x)[/mm]
[mm]v_{1}'(x) = x^{2} + 3v_{0}(x) - 2[/mm]
>
> Viele Grüße,
> schneidross
>
> PS.: Wie färbe ich Indices in einer Formel z.B. blau?
>
Das machst Du so: x_{\blue{1}}
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen der Ordnung 2:
[mm] y_{1}''(x) [/mm] = [mm] y_{1}'(x)x [/mm] + [mm] y_{2}(x),
[/mm]
[mm] y_{2}''(x) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 3y_{2}(x) [/mm] - 2.
Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens mit Startwerten
[mm] y_{1}(1) [/mm] = 1, [mm] y_{1}'(1) [/mm] = 2, [mm] y_{2}(1) [/mm] = -1, [mm] y_{2}'(1) [/mm] = 1 und Schrittweite h = 1 aus. |
Hallo Mathepower,
wir haben jetzt anhand deiner Hilfestellungen versucht eine Lösung zu erarbeiten, was uns hoffentlich auch gelungen ist. Vielleicht kannst du nochmal einen Blick darauf werfen um uns zu sagen ob, und wenn ja wo, noch Fehler liegen. Unsere Lösung lautet wie folgt:
Gleichungssystem zweier DGL 2. Ordnung:
[mm] y_{1}''(x)=y_{1}'(x)x+y_{2}(x)
[/mm]
[mm] y_{2}''(x)=x^{2}+3y_{2}(x)-2
[/mm]
Mittels folgender Substitutionen:
[mm] u_{0}=y_{1}, u_{1}=y_{1}'=u_{0}'
[/mm]
[mm] v_{0}=y_{2}, v_{1}=y_{2}'=v_{0}'
[/mm]
erhalten wir nun folgendes DGL-System 1. Ordnung:
[mm] u_{0}'(x)=u_{1}(x)
[/mm]
[mm] u_{1}'(x)=u_{1}(x)x+v_{0}(x)
[/mm]
[mm] v_{0}'(x)=v_{1}(x)
[/mm]
[mm] v_{1}'(x)=x^{2}+3v_{0}(x)-2
[/mm]
Nun führen wir einen Schritt des Eulerverfahrens durch, mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Startwerten:
[mm] \vektor{u_{0} \\ u_{1} \\ v_{0} \\ v_{1}}=\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 1}+1\*\vektor{u_{1}(1) \\ u_{1}(1)1+v_{0}(1) \\ v_{1}(1) \\ 1^{2}+3v_{0}(1)-2}
[/mm]
[mm] =\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 1}+\vektor{y_{1}'(1) \\ y_{1}'(1)\*1+y_{2}(1) \\ y_{2}'(1) \\ 1^{2}+3y_{2}(1)-2}
[/mm]
[mm] =\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 1}+\vektor{2 \\ 2\*1-1 \\ 1 \\ 1+3\*(-1)-1}=\vektor{3 \\ 3 \\ 0 \\ -3}
[/mm]
Und somit haben wir die Aufgabe vollständig gelöst mit dem Vektor [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 0 \\ -3} [/mm] als Ergebnis.
Wir hoffen, dass unsere Schritte nachvollziehbar waren. Ist das nun so alles korrekt?
Viele Grüße,
schneidross
|
|
|
| |
|
Hallo schneidross,
> Gegeben sei folgendes System von Differentialgleichungen
> der Ordnung 2:
>
> [mm]y_{1}''(x)[/mm] = [mm]y_{1}'(x)x[/mm] + [mm]y_{2}(x),[/mm]
> [mm]y_{2}''(x)[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]3y_{2}(x)[/mm] - 2.
>
> Transformieren Sie das System 2. Ordnung in ein System 1.
> Ordnung und führen Sie einen Schritt des Eulerverfahrens
> mit Startwerten
>
> [mm]y_{1}(1)[/mm] = 1, [mm]y_{1}'(1)[/mm] = 2, [mm]y_{2}(1)[/mm] = -1, [mm]y_{2}'(1)[/mm] = 1
> und Schrittweite h = 1 aus.
> Hallo Mathepower,
>
> wir haben jetzt anhand deiner Hilfestellungen versucht eine
> Lösung zu erarbeiten, was uns hoffentlich auch gelungen
> ist. Vielleicht kannst du nochmal einen Blick darauf werfen
> um uns zu sagen ob, und wenn ja wo, noch Fehler liegen.
> Unsere Lösung lautet wie folgt:
>
> Gleichungssystem zweier DGL 2. Ordnung:
> [mm]y_{1}''(x)=y_{1}'(x)x+y_{2}(x)[/mm]
> [mm]y_{2}''(x)=x^{2}+3y_{2}(x)-2[/mm]
>
> Mittels folgender Substitutionen:
> [mm]u_{0}=y_{1}, u_{1}=y_{1}'=u_{0}'[/mm]
> [mm]v_{0}=y_{2}, v_{1}=y_{2}'=v_{0}'[/mm]
>
> erhalten wir nun folgendes DGL-System 1. Ordnung:
> [mm]u_{0}'(x)=u_{1}(x)[/mm]
> [mm]u_{1}'(x)=u_{1}(x)x+v_{0}(x)[/mm]
> [mm]v_{0}'(x)=v_{1}(x)[/mm]
> [mm]v_{1}'(x)=x^{2}+3v_{0}(x)-2[/mm]
>
> Nun führen wir einen Schritt des Eulerverfahrens durch,
> mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Startwerten:
> [mm]\vektor{u_{0} \\ u_{1} \\ v_{0} \\ v_{1}}=\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 1}+1\*\vektor{u_{1}(1) \\ u_{1}(1)1+v_{0}(1) \\ v_{1}(1) \\ 1^{2}+3v_{0}(1)-2}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 1}+\vektor{y_{1}'(1) \\ y_{1}'(1)\*1+y_{2}(1) \\ y_{2}'(1) \\ 1^{2}+3y_{2}(1)-2}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 1}+\vektor{2 \\ 2\*1-1 \\ 1 \\ 1+3\*(-1)-1}=\vektor{3 \\ 3 \\ 0 \\ -3}[/mm]
>
> Und somit haben wir die Aufgabe vollständig gelöst mit
> dem Vektor [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 0 \\ -3}[/mm] als Ergebnis.
>
> Wir hoffen, dass unsere Schritte nachvollziehbar waren. Ist
> das nun so alles korrekt?
Ja, bis auf eine kleine Feinheit
Das Eulerverfahren lautet formal so:
[mm]\vektor{u_{0,i+1} \\ u_{1,i+1} \\ v_{0,i+1} \\ v_{1,i+1}}=\vektor{u_{0,i} \\ u_{1,i} \\ v_{0,i} \\ v_{1,i}}+h\*\vektor{u_{1,i} \\ u_{1,i}*x_{i}+v_{0,i} \\ v_{1,i} \\ x_{i}^{2}+3v_{0,i}-2}, \ i \in \IN_{0}[/mm]
mit
[mm]x_{0}=1, \ x_{i}=x_{0}+i*h[/mm]
[mm]u_{0,0}=u_{0}\left(1\right), \ u_{1,0}=u_{1}\left(1\right), \ v_{0,0}=v_{0}\left(1\right), \ v_{1,0}=v_{1}\left(1\right)[/mm]
>
> Viele Grüße,
> schneidross
Gruss
MathePower
|
|
|
|
