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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - System von Diff-Gleichunge
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System von Diff-Gleichunge: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:49 Mi 26.08.2009
Autor: xPae

Aufgabe
Lösen Sie das System von Differentialgleichungen:

[mm] y_{1}''=y_{2}''+2*y_{1} [/mm]
[mm] y_{2}'=y_{1}+5 [/mm]

mit den Anfangsbedingunge [mm] y_{1}(0)=1,y_{1}'(0)=0 [/mm] und [mm] y_{2}(0)=5 [/mm]

Moin,

Rechnung:

[mm] y_{1}''=y_{2}''+2*y_{1} [/mm]
[mm] y_{2}'=y_{1}+5 [/mm]

[mm] y_{2}'=y_{1}+5 [/mm]
[mm] y_{1}=y_{2}'-5 [/mm]
[mm] y_{1}'=y_{2}'' [/mm]

=> [mm] y_{1}''=y_{1}'+2*y_{1} [/mm]
=> [mm] y_{1}''-y_{1}'-2*y_{1} [/mm]

exp. Ansatz
[mm] \lambda^{2}-\lambda-2=0 [/mm]
[mm] \lambda_{1,2}=2,-1 [/mm]

[mm] y_{1}(x)=C_{1}*e^{2x}+C_{2}*e^{-x} [/mm]
[mm] y_{1}(0):=1 [/mm]  
=> [mm] C_{1}+C_{2}=1 [/mm]

[mm] y_{1}(x)'=2*C_{1}*e^{2*x}-C_{2}*e^{-x} [/mm]
[mm] =>2*C_{1}-C_{2}=0 [/mm]
[mm] =>C_{1}=\bruch{1}{2}*C_{2} [/mm]

[mm] =>\bruch{1}{2}*C_{2}+C_{2}=1 [/mm]
[mm] C_{2}=\bruch{2}{3} [/mm]
[mm] =>C_{1}=\bruch{1}{3} [/mm]

[mm] y(x)=\bruch{1}{3}*e^{2*x}+\bruch{2}{3}*e^{-x} [/mm]

Kann ich jetzt einfach so vorgehen:

Aus:
[mm] y_{2}'=y_{1}+5 [/mm]
[mm] y_{2}'=\bruch{1}{3}*e^{2*x}+\bruch{2}{3}*e^{-x}+5 [/mm]

[mm] y_{2}=\integral{(\bruch{1}{3}*e^{2*x}+\bruch{2}{3}*e^{-x}+5) dx} [/mm]
[mm] y_{2}=\bruch{1}{6}*e^{2*x}-\bruch{2}{3}*e^{-x}+5x+C_{3} [/mm]

[mm] y_{2}(0):=5 [/mm]
=> [mm] \bruch{1}{6}-\bruch{2}{3}+C_{3}=0 [/mm]
[mm] C_{3}=\bruch{1}{2} [/mm]

Aber das gefällt mir ganz und gar nicht. Oder ist das trotzdem richtig? =)

lg xPae

        
Bezug
System von Diff-Gleichunge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:13 Do 27.08.2009
Autor: xPae

Ich will nicht nerven, aber ich glaube manche Fragen werden einfach nicht gesehen, weil sie schon zu weit zurück liegen. :)

Bezug
        
Bezug
System von Diff-Gleichunge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Do 27.08.2009
Autor: leduart

Hallo
Warum gefaellt dir das nicht?
Ich seh keinen Fehler.
Ausserdem ist es leicht, die ergebnisse in das System einzusetzen, dann musst du nicht auf Antwort warten!
Gruss leduart

Bezug
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