Systeme lin. Dgl. 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Mi 05.02.2014 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | x'=-x+5y
y'=-y+t
Ges. allgemeine Lösung |
Ich bereite mich gerade für ne Prüfung vor und würde jetzt gern wissen ob ich die o.g. Aufgabe richtig gerechnet habe.
Hier mein Lösungsvorschlag:
Lösung
Homogener Teil:
[mm] det(A-lambdaE)=\vmat{ -1-lambda & 5 \\ 0 & -1-lambda } [/mm] =λ^2+2λ+1 => λ_1,2=-1
Eigenvektor zu λ = -1:
[mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Hauptvektor, da algebraische Vielfachheit ≠ geometrischer Vielfachheit:
1/5 [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Lösung des homogenen Teils:
[mm] \vektor{z1 \\ z2}= C_1 [/mm] e^(-t) [mm] \vektor{1 \\ 0} +C_2 [/mm] e^(-t) [mm] (\bruch{1}{5} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1}+t\vektor{1 \\ 0})
[/mm]
Ansatz für inhomogenen Teil:
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{A_0 \\ B_0}+\vektor{A_1 \\ B_1}t
[/mm]
[mm] \vektor{x' \\ y'})=\vektor{A_1 \\ B_1}
[/mm]
[mm] \vektor{A_1 \\ B_1}= \pmat{ -1 & 5 \\ 0 & -1 } \vektor{A_0 \\ B_0}+ \pmat{ -1 & 5 \\ 0 & -1 }\vektor{A_1 \\ B_1}t+\vektor{0 \\ 1}t
[/mm]
[mm] \vektor{A_1 \\ B_1}+\vektor{A_0-5B_0 \\ B_0}+\vektor{A_1-5B_1 \\ B_1}t=\vektor{0 \\ 1}t
[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
[mm] A_0=-10
[/mm]
[mm] A_1=5
[/mm]
[mm] B_0= [/mm] -1
[mm] B_1=1
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{-10 \\ -1}+\vektor{5 \\ 1}t
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] \vektor{x \\ y}=C_1 [/mm] e^(-t) [mm] \vektor{1 \\ 0} +C_2 [/mm] e^(-t) [mm] (\bruch{1}{5} \vektor{0 \\ 1}+t\vektor{1 \\ 0})+\vektor{-10 \\ -1}+\vektor{5 \\ 1}t
[/mm]
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Hallo riju,
> x'=-x+5y
> y'=-y+t
> Ges. allgemeine Lösung
> Ich bereite mich gerade für ne Prüfung vor und würde
> jetzt gern wissen ob ich die o.g. Aufgabe richtig gerechnet
> habe.
>
> Hier mein Lösungsvorschlag:
>
> Lösung
> Homogener Teil:
> [mm]det(A-lambdaE)=\vmat{ -1-lambda & 5 \\ 0 & -1-lambda }[/mm]
> =λ^2+2λ+1 => λ_1,2=-1
> Eigenvektor zu λ = -1:
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> Hauptvektor, da algebraische Vielfachheit
> ≠ geometrischer Vielfachheit:
> 1/5 [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> Lösung des homogenen Teils:
> [mm]\vektor{z1 \\ z2}= C_1[/mm] e^(-t) [mm]\vektor{1 \\ 0} +C_2[/mm]
> e^(-t) [mm](\bruch{1}{5}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 1}+t\vektor{1 \\ 0})[/mm]
>
> Ansatz für inhomogenen Teil:
> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{A_0 \\ B_0}+\vektor{A_1 \\ B_1}t[/mm]
>
> [mm]\vektor{x' \\ y'})=\vektor{A_1 \\ B_1}[/mm]
> [mm]\vektor{A_1 \\ B_1}= \pmat{ -1 & 5 \\ 0 & -1 } \vektor{A_0 \\ B_0}+ \pmat{ -1 & 5 \\ 0 & -1 }\vektor{A_1 \\ B_1}t+\vektor{0 \\ 1}t[/mm]
>
> [mm]\vektor{A_1 \\ B_1}+\vektor{A_0-5B_0 \\ B_0}+\vektor{A_1-5B_1 \\ B_1}t=\vektor{0 \\ 1}t[/mm]
>
> Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
> [mm]A_0=-10[/mm]
> [mm]A_1=5[/mm]
> [mm]B_0=[/mm] -1
> [mm]B_1=1[/mm]
> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{-10 \\ -1}+\vektor{5 \\ 1}t[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
> [mm]\vektor{x \\ y}=C_1[/mm] e^(-t) [mm]\vektor{1 \\ 0} +C_2[/mm] e^(-t)
> [mm](\bruch{1}{5} \vektor{0 \\ 1}+t\vektor{1 \\ 0})+\vektor{-10 \\ -1}+\vektor{5 \\ 1}t[/mm]
>
Alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> x'=-x+5y
> y'=-y+t
> Ges. allgemeine Lösung
> Ich bereite mich gerade für ne Prüfung vor und würde
> jetzt gern wissen ob ich die o.g. Aufgabe richtig gerechnet
> habe.
>
> Hier mein Lösungsvorschlag:
>
> Lösung
> Homogener Teil:
> [mm]det(A-lambdaE)=\vmat{ -1-lambda & 5 \\ 0 & -1-lambda }[/mm]
> =λ^2+2λ+1 => λ_1,2=-1
> Eigenvektor zu λ = -1:
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> Hauptvektor, da algebraische Vielfachheit
> ≠ geometrischer Vielfachheit:
> 1/5 [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> Lösung des homogenen Teils:
> [mm]\vektor{z1 \\ z2}= C_1[/mm] e^(-t) [mm]\vektor{1 \\ 0} +C_2[/mm]
> e^(-t) [mm](\bruch{1}{5}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 1}+t\vektor{1 \\ 0})[/mm]
>
> Ansatz für inhomogenen Teil:
> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{A_0 \\ B_0}+\vektor{A_1 \\ B_1}t[/mm]
>
> [mm]\vektor{x' \\ y'})=\vektor{A_1 \\ B_1}[/mm]
> [mm]\vektor{A_1 \\ B_1}= \pmat{ -1 & 5 \\ 0 & -1 } \vektor{A_0 \\ B_0}+ \pmat{ -1 & 5 \\ 0 & -1 }\vektor{A_1 \\ B_1}t+\vektor{0 \\ 1}t[/mm]
>
> [mm]\vektor{A_1 \\ B_1}+\vektor{A_0-5B_0 \\ B_0}+\vektor{A_1-5B_1 \\ B_1}t=\vektor{0 \\ 1}t[/mm]
>
> Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
> [mm]A_0=-10[/mm]
> [mm]A_1=5[/mm]
> [mm]B_0=[/mm] -1
> [mm]B_1=1[/mm]
> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{-10 \\ -1}+\vektor{5 \\ 1}t[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
> [mm]\vektor{x \\ y}=C_1[/mm] e^(-t) [mm]\vektor{1 \\ 0} +C_2[/mm] e^(-t)
> [mm](\bruch{1}{5} \vektor{0 \\ 1}+t\vektor{1 \\ 0})+\vektor{-10 \\ -1}+\vektor{5 \\ 1}t[/mm]
>
>
Viel einfacher wirds, wenn Du aus den beiden Gleichungen
x'=-x+5y
y'=-y+t
folgendes herausholst:
(*) x''+2x'+x=5t
Das ist eine lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Die zugehörige homogene Gl. hat das einfache char. Polynom [mm] (\lambda+1)^2
[/mm]
Bestimme also die allg. Lösung von (*)
Aus 5y=x'+x etc.....
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Mi 05.02.2014 | | Autor: | riju |
Leider hatte ich das so nicht, daher verstehe ich das nicht ganz. Aber trotzdem danke schön.
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