T-Test durchführen < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Verkäufer behauptet, der Volumenanteil seines Glühweins beträgt 12%. Es werden einige Proben des Glühweins untersucht, man erhält die folgenden Ergebnisse:
12.7 11.9 12.3 10.6 11.8 12.4 10.9 13.9 11.5 11.6.
Nimm an, der Alkoholgehalt in einer Tasse Glühwein sei [mm] N(\mu, \sigma^{2}) [/mm] normalverteilt und führe einen geeigneten Test zum Niveau [mm] \alpha=0.05 [/mm] durch. |
Hallo!
Ich habe ein paar Fragen zum Ansatz:
Ich habe ja nun genau das gegeben, was ich für einen T-Test brauche; ich weiß für [mm] X_{1},..,X_{n} [/mm] iid (unabhängig und identisch) [mm] N(\mu, \sigma^{2}), [/mm] dass dann ein gleichmäßig bester Test zum Niveau [mm] \alpha [/mm] von [mm] H_{0}:\mu\ge \mu_{0} [/mm] gegen [mm] H_{A}:\mu [/mm] < [mm] \mu_{0} [/mm] so gegeben ist:
[mm] \phi*(X_{1},...,X_{n}) [/mm] = [mm] \begin{cases}1,\quad \frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}< -t_{n-1,1-\alpha}\\ 0,\quad \frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}} \ge -t_{n-1,1-\alpha}\end{cases}
[/mm]
Frage 1:
Ist das der richtige Test für die Aufgabe, wenn ich nun [mm] H_{0}: \mu [/mm] = [mm] \mu_{0} [/mm] = 12 setze, und [mm] H_{1} [/mm] < [mm] \mu_{0} [/mm] = 12 ist, was wir ja annehmen?
Frage 2:
Wir hatten in der Vorlesung eigentlich den Test so für [mm] H_{0}:\mu\le\mu_{0} [/mm] und [mm] H_{A}:\mu>\mu_{0}:
[/mm]
[mm] \phi*(X_{1},...,X_{n}) [/mm] = [mm] \begin{cases}1,\quad \frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}\ge c'\\ 0,\quad \frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}} < c'\end{cases},
[/mm]
wobei c' = [mm] t_{n-1,1-\alpha} [/mm] das [mm] (1-\alpha)-Quantil [/mm] der [mm] t_{n-1}-Verteilung [/mm] ist.
Da es eine einführende Vorlesung ist, haben wir nichts bewiesen - wie komme ich jetzt von diesem auf den oberen Test, den ich bei Wikipedia abgeschrieben habe  ?
Das hat doch bestimmt was mit der Bestimmungsgleichung [mm] P_{\mu_{0},\sigma^{2}}\left(\frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}} \ge c'\right) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] zu tun?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Di 05.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Frage 1:
> Ist das der richtige Test für die Aufgabe, wenn ich nun
> [mm]H_{0}: \mu[/mm] = [mm]\mu_{0}[/mm] = 12 setze, und [mm]H_{1}[/mm] < [mm]\mu_{0}[/mm] = 12
> ist, was wir ja annehmen?
Der Aufgabenstellung zufolge erscheint es mir auch legitim zu sein, [mm] $H_0$ [/mm] gegen [mm] $H_{1}: \mu \ne \mu_{0} [/mm] = 12$ zu testen.
>
> Frage 2:
> Wir hatten in der Vorlesung eigentlich den Test so für
> [mm]H_{0}:\mu\le\mu_{0}[/mm] und [mm]H_{A}:\mu>\mu_{0}:[/mm]
>
> [mm]\phi*(X_{1},...,X_{n})[/mm] = [mm]\begin{cases}1,\quad \frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}\ge c'\\ 0,\quad \frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}} < c'\end{cases},[/mm]
>
> wobei c' = [mm]t_{n-1,1-\alpha}[/mm] das [mm](1-\alpha)-Quantil[/mm] der
> [mm]t_{n-1}-Verteilung[/mm] ist.
>
> Da es eine einführende Vorlesung ist, haben wir nichts
> bewiesen - wie komme ich jetzt von diesem auf den oberen
> Test, den ich bei Wikipedia abgeschrieben habe ?
Tu so, als ob du $ [mm] H_{0}: \mu [/mm] = [mm] \mu_{0} [/mm] = 12$ testest.
vg Luis
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Hallo luis52,
erstmal vielen Dank für deine Antwort!
> > Frage 1:
> > Ist das der richtige Test für die Aufgabe, wenn ich
> nun
> > [mm]H_{0}: \mu[/mm] = [mm]\mu_{0}[/mm] = 12 setze, und [mm]H_{1}[/mm] < [mm]\mu_{0}[/mm] = 12
> > ist, was wir ja annehmen?
>
> Der Aufgabenstellung zufolge erscheint es mir auch legitim
> zu sein, [mm]H_0[/mm] gegen [mm]H_{1}: \mu \ne \mu_{0} = 12[/mm] zu testen.
Ja, aber diese "Testart" hatten wir noch nicht - und nach unserem Übungsleiter sollen wir irgendwie nur Nullhypothese mit Alternativhypothese vertauschen, ausgehend von dem Test, den wir schon kennen...
> > Frage 2:
> > Wir hatten in der Vorlesung eigentlich den Test so für
> > [mm]H_{0}:\mu\le\mu_{0}[/mm] und [mm]H_{A}:\mu>\mu_{0}:[/mm]
> >
> > [mm]\phi*(X_{1},...,X_{n})[/mm] = [mm]\begin{cases}1,\quad \frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}\ge c'\\ 0,\quad \frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}} < c'\end{cases},[/mm]
>
> >
> > wobei c' = [mm]t_{n-1,1-\alpha}[/mm] das [mm](1-\alpha)-Quantil[/mm] der
> > [mm]t_{n-1}-Verteilung[/mm] ist.
> >
> > Da es eine einführende Vorlesung ist, haben wir nichts
> > bewiesen - wie komme ich jetzt von diesem auf den oberen
> > Test, den ich bei Wikipedia abgeschrieben habe ?
>
> Tu so, als ob du [mm]H_{0}: \mu = \mu_{0} = 12[/mm] testest.
Ist das noch eine Fortführung von deinem Vorschlag oben, oder schon ein Hinweis, wie ich zu dem von mir vorgeschlagenen Test kommen kann?
Danke für Deine (Eure) Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Di 05.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hallo luis52,
>
> erstmal vielen Dank für deine Antwort!
>
> > > Frage 1:
> > > Ist das der richtige Test für die Aufgabe, wenn ich
> > nun
> > > [mm]H_{0}: \mu[/mm] = [mm]\mu_{0}[/mm] = 12 setze, und [mm]H_{1}[/mm] < [mm]\mu_{0}[/mm] = 12
> > > ist, was wir ja annehmen?
> >
> > Der Aufgabenstellung zufolge erscheint es mir auch legitim
> > zu sein, [mm]H_0[/mm] gegen [mm]H_{1}: \mu \ne \mu_{0} = 12[/mm] zu testen.
>
> Ja, aber diese "Testart" hatten wir noch nicht - und nach
> unserem Übungsleiter sollen wir irgendwie nur
> Nullhypothese mit Alternativhypothese vertauschen,
> ausgehend von dem Test, den wir schon kennen...
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
> > > Frage 2:
> > > Wir hatten in der Vorlesung eigentlich den Test so
> für
> > > [mm]H_{0}:\mu\le\mu_{0}[/mm] und [mm]H_{A}:\mu>\mu_{0}:[/mm]
> > >
> > > [mm]\phi*(X_{1},...,X_{n})[/mm] = [mm]\begin{cases}1,\quad \frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}\ge c'\\ 0,\quad \frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}} < c'\end{cases},[/mm]
>
> >
> > >
> > > wobei c' = [mm]t_{n-1,1-\alpha}[/mm] das [mm](1-\alpha)-Quantil[/mm] der
> > > [mm]t_{n-1}-Verteilung[/mm] ist.
> > >
> > > Da es eine einführende Vorlesung ist, haben wir nichts
> > > bewiesen - wie komme ich jetzt von diesem auf den oberen
> > > Test, den ich bei Wikipedia abgeschrieben habe ?
> >
> > Tu so, als ob du [mm]H_{0}: \mu = \mu_{0} = 12[/mm] testest.
>
> Ist das noch eine Fortführung von deinem Vorschlag oben,
Nein.
> oder schon ein Hinweis, wie ich zu dem von mir
> vorgeschlagenen Test kommen kann?
Ja. Teste also [mm] $H_0:\mu=12$ [/mm] gegen [mm] $H_1:\mu<12$.
[/mm]
vg Luis
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Hallo luis52,
wieder danke für deine Antwort!
> > > > Frage 2:
> > > > Wir hatten in der Vorlesung eigentlich den Test
> so
> > für
> > > > [mm]H_{0}:\mu\le\mu_{0}[/mm] und [mm]H_{A}:\mu>\mu_{0}:[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\phi*(X_{1},...,X_{n})[/mm] = [mm]\begin{cases}1,\quad \frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}\ge c'\\ 0,\quad \frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}} < c'\end{cases},[/mm]
> > > > wobei c' = [mm]t_{n-1,1-\alpha}[/mm] das [mm](1-\alpha)-Quantil[/mm] der
> > > > [mm]t_{n-1}-Verteilung[/mm] ist.
> > > >
> > > > Da es eine einführende Vorlesung ist, haben wir nichts
> > > > bewiesen - wie komme ich jetzt von diesem auf den oberen
> > > > Test, den ich bei Wikipedia abgeschrieben habe ?
> Teste also [mm]H_0:\mu=12[/mm] gegen [mm]H_1:\mu<12[/mm].
Mhh... Aber wie genau mache ich das denn jetzt, wenn ich nur den obigen Test zur Verfügung habe?
Ich verstehe nicht, wie ich das machen kann...
Ich kann [mm] H_{0}:\mu [/mm] = [mm] \mu_{0} [/mm] = 12 setzen und [mm] H_{1}: \mu [/mm] > [mm] \mu_{0} [/mm] = 12, dann weiß ich nach obigem Test die entsprechende Entscheidungsfunktion.
Aber wie drehe ich das jetzt um?
Stehe ich auf dem Schlauch? Wie gesagt, wir haben keinen Beweis zu diesem Test gemacht, da es nur eine Einführungsvorlesung war.
Was muss ich jetzt genau machen?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Di 05.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Was muss ich jetzt genau machen?
Schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) das ab Folie 38 an. Die Differenzwerte auf Folie 40 entsprechen deinen Werten in der Aufgabenstellung.
vg Luis
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Hallo luis52,
danke für deine Antwort!
Ich habe
[mm] H_{0}:\mu [/mm] = [mm] \mu_{0} [/mm] und [mm] H_{1}:\mu [/mm] > [mm] \mu_{0},
[/mm]
--->
[mm] H_{0}:\mu_{neu} [/mm] = [mm] \mu_{0}-\mu [/mm] = 0 und [mm] H_{1}: \mu_{neu} [/mm] = [mm] \mu_{0} [/mm] - [mm] \mu [/mm] > 0.
wofür ich jetzt mit dem schon bekannten Test einen besten Test angeben könnte, und das ist dasselbe wie
[mm] H_{0}:\mu [/mm] = [mm] \mu_{0} [/mm] und [mm] H_{1}:\mu [/mm] < [mm] \mu_{0}
[/mm]
Meinst du es so?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Di 05.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Meinst du es so?
>
Hm, Sch[Zensur]-Beispiel. Lass es mich einmal selber probieren.
Was haben wir? Der Verkaeufer behauptet, dass der Erwartungswert bei mindestens [mm] $\mu_0=12$ [/mm] liegt. Du willst ihm aber nachweisen, dass er geringer ist, d.h. die Vermutung untermauern, dass er geringer ist als [mm] $\mu_0$. [/mm] Zu diesem Zweck ziehen wir die Ergebnisse der Stichprobe heran. Wie kann man das tun?
Das arithmetische Mittel [mm] $\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$ [/mm] ist erwartungstreu fuer [mm] $\mu$. [/mm] Hat der Verkaeufer recht, so erwarten wir [mm] $\bar X\ge \mu_0$, [/mm]
anderenfalls [mm] $\bar X<\mu_0$. [/mm] Mit anderen Worten: [mm] $\bar X\ge\mu_0\iff \bar X-\mu_0\ge0$ [/mm] steht in Einklang mit [mm] $H_0:\mu\ge\mu_0\iff\mu-\mu_0\ge0$, [/mm] hingegen spricht [mm] $\bar X<\mu_0\iff \bar X-\mu_0<0$ [/mm] fuer [mm] $H_1:\mu<\mu_0\iff\mu-\mu_0<0$. [/mm] Wir werden also dem Verkaeufer misstrauen, wenn [mm] $\bar X-\mu_0$ [/mm] einen "signifikant kleinen" Wert annimmt. Was heisst das? Wir koennen uns an der Verteilung von [mm] $\bar X-\mu_0$ [/mm] orientieren und dem Verkaeufer Betrug unterstellen, wenn [mm] $\bar X-\mu_0$ [/mm] kleiner ist als ein bestimmter Prozentpunkt seiner Verteilung, bspw. der 5%- oder der 1%-Punkt. Die Vorgabe des Prozentpunkts ist gleichbedeutend mit der Vorgabe des Signikanzniveaus [mm] $\alpha$.
[/mm]
Leider hat dieser Ansatz einen Schoenheitsfehler, denn die Verteilung von [mm] $\bar X-\mu_0$ [/mm] ist eine [mm] $N(\mu-\mu_0,\sigma^2/n)$- [/mm] Verteilung, haengt also noch von [mm] $\sigma^2$ [/mm] ab, was wir nicht kennen. Deswegen benutzt man stattdessen
[mm] $T=\frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}$
[/mm]
was "fast" [mm] $\bar X-\mu_0$ [/mm] ist, jedoch eine von [mm] $\sigma^2$ [/mm] unabhaengige Verteilung besitzt, naemlich eine $t(n-1)$-Verteilung.
Was also ist zu tun? Berechne den Wert von $T$ und sieh nach, ob er kleiner ist als [mm] $-t_{n-1,1-\alpha}$. [/mm] Faelle dann deine Entscheidung.
vg Luis
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Hallo,
> > Meinst du es so?
> >
>
> Hm, Sch[Zensur]-Beispiel. Lass es mich einmal selber
> probieren.
>
> Was haben wir? Der Verkaeufer behauptet, dass der
> Erwartungswert bei mindestens [mm]\mu_0=12[/mm] liegt. Du willst
> ihm aber nachweisen, dass er geringer ist, d.h. die
> Vermutung untermauern, dass er geringer ist als [mm]\mu_0[/mm]. Zu
> diesem Zweck ziehen wir die Ergebnisse der Stichprobe
> heran. Wie kann man das tun?
>
> Das arithmetische Mittel [mm]\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i[/mm]
> ist erwartungstreu fuer [mm]\mu[/mm]. Hat der Verkaeufer recht, so
> erwarten wir [mm]\bar X\ge \mu_0[/mm],
> anderenfalls [mm]\bar X<\mu_0[/mm]. Mit anderen Worten: [mm]\bar X\ge\mu_0\iff \bar X-\mu_0\ge0[/mm]
> steht in Einklang mit [mm]H_0:\mu\ge\mu_0\iff\mu-\mu_0\ge0[/mm],
> hingegen spricht [mm]\bar X<\mu_0\iff \bar X-\mu_0<0[/mm] fuer
> [mm]H_1:\mu<\mu_0\iff\mu-\mu_0<0[/mm]. Wir werden also dem
> Verkaeufer misstrauen, wenn [mm]\bar X-\mu_0[/mm] einen "signifikant
> kleinen" Wert annimmt. Was heisst das? Wir koennen uns an
> der Verteilung von [mm]\bar X-\mu_0[/mm] orientieren und dem
> Verkaeufer Betrug unterstellen, wenn [mm]\bar X-\mu_0[/mm] kleiner
> ist als ein bestimmter Prozentpunkt seiner Verteilung,
> bspw. der 5%- oder der 1%-Punkt. Die Vorgabe des
> Prozentpunkts ist gleichbedeutend mit der Vorgabe des
> Signikanzniveaus [mm]\alpha[/mm].
>
>
> Leider hat dieser Ansatz einen Schoenheitsfehler, denn die
> Verteilung von [mm]\bar X-\mu_0[/mm] ist eine
> [mm]N(\mu-\mu_0,\sigma^2/n)[/mm]- Verteilung, haengt also noch von
> [mm]\sigma^2[/mm] ab, was wir nicht kennen. Deswegen benutzt man
> stattdessen
>
> [mm]T=\frac{\overline{X_{n}}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}[/mm]
>
> was "fast" [mm]\bar X-\mu_0[/mm] ist, jedoch eine von [mm]\sigma^2[/mm]
> unabhaengige Verteilung besitzt, naemlich eine
> [mm]t(n-1)[/mm]-Verteilung.
>
> Was also ist zu tun? Berechne den Wert von [mm]T[/mm] und sieh
> nach, ob er kleiner ist als [mm]-t_{n-1,1-\alpha}[/mm]. Faelle dann
> deine Entscheidung.
Ich habe jetzt erstmal T berechnet.
Ich kam auf:
[mm] \overline{X_{10}} [/mm] = 11.96
[mm] \overline{X_{10}}-\mu_{0} [/mm] = -0.04
S = 0.9407
Insgesamt: T = -0.1276
Und es ist nach dieser Tabelle doch [mm] -t_{9,0.95} [/mm] = -1.833.
Mhh... wenn ich jetzt erstmal den Test am Anfang zu Rate ziehe, würde das bedeuten:
T = -0.1276 > -1.833 = [mm] -t_{9,0.95},
[/mm]
also würde ich mich für [mm] H_{0} [/mm] entscheiden, kann also dem Verkäufer nicht nachweisen, dass es weniger Alkohol im Glühwein ist.
Stimmt das erstmal?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 05.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> also würde ich mich für [mm]H_{0}[/mm] entscheiden, kann also dem
> Verkäufer nicht nachweisen, dass es weniger Alkohol im
> Glühwein ist.
>
> Stimmt das erstmal?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (ich errechne $t = -0.1345$ ...)
vg Luis
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