TAYLOR-Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mo 03.01.2005 | | Autor: | eleftro |
Habe eine Aufgabe komme mit ihr nicht klar damit und zwar ich soll eine TAYLOR-Reihe der Funktion [mm] y=2^x [/mm] um 0. Erstelen. Und für welche reellen x konvergiert die Reihe von1 gegen die jeweilige Funktionswerte?
Könnte mir einer weiter helfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Mo 03.01.2005 | | Autor: | moudi |
Da gibt es nur eines, nämlich die Ableitungen der Funktion [mm]f(x)=2^x[/mm] an der Stelle x=0 zu berechnen. Aber dazu gibt es einen kleinen Trick,
denn aus [mm]2=e^{\ln(2)}[/mm] folgt [mm]f(x)=e^{\ln(2)x}[/mm] und daraus [mm]f'(x)=\ln(2)e^{\ln(2)x}[/mm]. Jetzt kannst du sicher selber die n-te Ableitung berechnen. Die Taylorreihe ist eine Potenzreihe. Diese Potenzreihe besitzt den Kovergenzradius [mm]\infty[/mm]. Die Taylorreihe konvergiert in diesem Falle für alle x.
Wenn du nicht weisst, was Potenzreihen sind, dann musst du es halt direkt zeigen, dass die Taylorreihe für jedes x konvergiert, z.B. mit dem Quotientenkriterium.
mfG Moudi
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