TDV und Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Do 23.09.2010 | | Autor: | michime |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung durch Substitution:
(a) y'=3x+y |
Muss ja eigentlich einfach sein...dachte ich :-(
y' = 3x + y
[mm] \bruch{dy}{dx}=3x+y
[/mm]
dy =3x+y dx
[mm] \ldots [/mm]
So an der Stelle wurde ich dann mit meinem ersten Gedanken doch über das Ohre gehauen weil mit:
[mm] \bruch{dy}{3x+y} [/mm] = dx
komme ich nicht weiter und wenn ich:
dy =3x+y dx | -y
-y dy =3x dx
[mm] \ldots [/mm]
Dann ist es doch ganz falsch [mm] \ldots [/mm] oder? Oder muss ich da mit der Partial Bruch Zerlgeung ran. Bzw. das mit der Substitution (Text Aufgabe) meine ich das es hier noch nicht kommen kann.
Um jede Hilfe dankbar.
michime
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Do 23.09.2010 | | Autor: | wieschoo |
Das stimmt. Es wurde aber der Versuch unternommen und richtig gerechnet. Das das nun nicht geht stand ja schon fest:
Als Ergänzung vielleicht die ersten Schritte für das problem:
[mm]y'(x)=\green{3x+y(x)}[/mm]
Definiere [mm]z(x)=3x+y(x)\Rightarrow z'(x)=3+y'(x)\gdw y'(x)=\blue{z'(x)-3}[/mm]
Somit [mm]\green{3x+y(x)}=z(x)=\blue{z'(x)-3}\gdw z'(x)=z(x)+3[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Do 23.09.2010 | | Autor: | michime |
Moin,
so wie ich das sehe hat fred97 recht, ich habe da je keine TDV gemacht an der Stelle wo du wieschoo meinst ich soll die Substitution anwenden.
Wie soll ich diese Beiden Zeilen ersetzen, an der Stelle wo du wieschoo gemeint hast?
[mm]y'(x)=\green{3x+y(x)}[/mm]
Definiere [mm]z(x)=3x+y(x)\Rightarrow z'(x)=3+y'(x)\gdw y'(x)=\blue{z'(x)-3}[/mm]
Somit [mm]\green{3x+y(x)}=z(x)=\blue{z'(x)-3}\gdw z'(x)=z(x)+3[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Moin,
> so wie ich das sehe hat fred97 recht,
So ist es
> ich habe da je keine
> TDV gemacht an der Stelle wo du wieschoo meinst ich soll
> die Substitution anwenden.
>
> Wie soll ich diese Beiden Zeilen ersetzen, an der Stelle wo
> du wieschoo gemeint hast?
Unter diesen Zeilen, die Du gerade liest ist die Steilvorlage von wieschoo. Warum machst Du das nicht einfach mal ? FRED
>
> [mm]y'(x)=\green{3x+y(x)}[/mm]
> Definiere [mm]z(x)=3x+y(x)\Rightarrow z'(x)=3+y'(x)\gdw y'(x)=\blue{z'(x)-3}[/mm]
> Somit [mm]\green{3x+y(x)}=z(x)=\blue{z'(x)-3}\gdw z'(x)=z(x)+3[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Do 23.09.2010 | | Autor: | michime |
So habe versucht die Steilvorlage zu verstehen und hänge nun meine ich wieder an einer anderen Stelle:
y' = 3x + y
Nehme:
z(x) = 3x+y(x)
[mm] \Rightarrow [/mm] z'(x) = 3 + y'(x)
y'(x) = z'(x) - 3
Das kann man ja nun einsetzten so wie ich das verstanden, raus gesehen habe:
y'(x) = z'(x) - 3
[mm] \frac{dy}{dx} [/mm] = z'(x) - 3
dy = (z'(x) - 3) * dx
[mm] \fac{1}{z'(x) - 3} [/mm] * dy = 1 * dx
[mm] \int{\frac{1}{z'(x) - 3} dy} [/mm] = [mm] \int{1 dx}
[/mm]
[mm] \int{\frac{1}{z'(x) - 3} dy} [/mm] = x + c
Ich meine so ist das gedacht mit der Substitution, allerdings bin ich nun etwas überfragt bzgl. der Integration von: [mm] \int{\frac{1}{z'(x) - 3} dy}, [/mm] denn es müsten ja alles Konstanten sein, oder? ich würde ja hier nach y Integrieren und es gibt ja keins, oder muss ich hier statt: [mm] \frac{dy}{dx} [/mm] nach [mm] \frac{dz}{dx} [/mm] arbeiten.
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> [mm]\int{\frac{1}{z'(x) - 3} dy}[/mm] = [mm]\int{1 dx}[/mm]
Wohl eher
[mm]\int{\frac{1}{z(x) + 3} dz}=\int{1 dx}[/mm]
[edit] Vorzeichenfehler entfernt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Do 23.09.2010 | | Autor: | michime |
Hm Klasse, das ich in meiner letzten Frage meinen eigenen Fehler zumindest angesprochen habe.
Aber was habe ich damit gewonnen?
[mm] \int{\frac{1}{z'(x)-3} dz} [/mm] = [mm] \int{1 dy}
[/mm]
log(z'(x)-3) = y+c
Und ich weiß ja das: z'(x) = 3+y'(x), also zurück substituieren?
log( 3+y'(x)-3) = y+c
Aber damit habe ich doch an sich nichts gewonnen das y'(x) ist ja nun immer noch da oder habe ich etwas falsch gemacht (wovon ich jetzt einfach mal ausgehe), auch wenn ich das nicht gewollt habe.
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Sorry habe ich vorhin auch übersehen: Richtig ist
[mm] \int{\frac{1}{\green{z(x)}+3} dz} = \int{1 d\red{x}} [/mm]
[mm]ln(z(x)+3)=x+C[/mm]
[mm]ln(3x+y+3)=x+C[/mm]
Wobei du auch schreibst, wie es dir gerade lustig ist!
Du darfst nichts die Integrationsvariabeln einfach ändern!
[edit] Vorzeichenfehler entfernt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Do 23.09.2010 | | Autor: | michime |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung durch Substitution:
y'=3x+y |
Ja das hatte ich hier mit den Umgebungsvariablen übersehen...Absolut mein Fehler (ich Schmierfink).
So nun noch mal im Zusammenhang, hoffe ich habe das so nun korrekt gemacht:
y'=3x+y
Def.:
z(x) = 3x+y
[mm] \rightarrow [/mm] z'(x) = 3+y'
z'(x) - y'= 3
- y'= 3 - z'(x)
y' = z'(x) -3
Somit:
y' = z-3 # warum soll hier nun nicht die abgeleitet Form von z rein, habe doch zuvor etwas anderes umgestellt?
[mm] \frac{dz}{dx} [/mm] = z-3
dz = z-3 dx
[mm] \int{\frac{1}{z-3}dz} [/mm] = [mm] \int{1 dx}
[/mm]
[mm] \log{(z-3)} [/mm] = x +c |z=3x+y
[mm] \log{(3x+y-3)} [/mm] = x +c | [mm] e^{x}
[/mm]
3x+y-3 = [mm] e^{x +c}
[/mm]
y = -3x [mm] +e^{x +c}+3
[/mm]
z-3 = [mm] e^{x +c}
[/mm]
Hoffe aber das ich nun etwas mehr Richtig ist als beim ersten Versuch, oder?
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Hallo michime,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung durch Substitution:
>
> y'=3x+y
> Ja das hatte ich hier mit den Umgebungsvariablen
> übersehen...Absolut mein Fehler (ich Schmierfink).
>
> So nun noch mal im Zusammenhang, hoffe ich habe das so nun
> korrekt gemacht:
>
> y'=3x+y
>
> Def.:
> z(x) = 3x+y
> [mm]\rightarrow[/mm] z'(x) = 3+y'
> z'(x) - y'= 3
> - y'= 3 - z'(x)
> y' = z'(x) -3
>
> Somit:
> y' = z-3 # warum soll hier nun nicht die abgeleitet Form
> von z rein, habe doch zuvor etwas anderes umgestellt?
Die transformierte DGL lautet doch dann:
[mm]z'-3=z[/mm]
> [mm]\frac{dz}{dx}[/mm] = z-3
> dz = z-3 dx
Demnach muss es hier lauten:
[mm]dz = z+3 \ dx[/mm]
> [mm]\int{\frac{1}{z-3}dz}[/mm] = [mm]\int{1 dx}[/mm]
> [mm]\log{(z-3)}[/mm] = x +c
> |z=3x+y
> [mm]\log{(3x+y-3)}[/mm] = x +c | [mm]e^{x}[/mm]
> 3x+y-3 = [mm]e^{x +c}[/mm]
> y = -3x [mm]+e^{x +c}+3[/mm]
> z-3 = [mm]e^{x +c}[/mm]
Damit muss hier stehen:
[mm] z\red{+}3 = e^{x +c}=C_{1}*e^{x}[/mm]
mit [mm]C_{1}:=e^{c}[/mm]
>
> Hoffe aber das ich nun etwas mehr Richtig ist als beim
> ersten Versuch, od+er?
Ja, bis auf ein Vorzeichen ist alles Richtig.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 Do 23.09.2010 | | Autor: | michime |
---Immer diese Vorzeichen, Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Do 23.09.2010 | | Autor: | wieschoo |
> [mm]y' = z-3\,[/mm] # warum soll hier nun nicht die abgeleitet Form von z rein, habe doch zuvor etwas anderes umgestellt?
[mm]z'(x)-3=y'(x)=z(x)\Leftrightarrow z'(x)=z(x)+3 \Rightarrow \frac{dz}{dx} = z+3 [/mm]
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Hallo michime,
falls Du mit der vorgeschlagenen Substitution (führt zu $ z'=z+3 $) nicht klarkommst, kannst Du die Lösung auch schon mal mit dem Ansatz $ y=ax+b $ ermitteln. Fragt sich dann nur noch, wie Du von der Substitution aus dahin gekommen wärst. Aber das ist Deine Aufgabe.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo michime,
>
> falls Du mit der vorgeschlagenen Substitution (führt zu
> [mm]z'=z+3 [/mm]) nicht klarkommst, kannst Du die Lösung auch schon
> mal mit dem Ansatz [mm]y=ax+b[/mm] ermitteln.
hallo reverend,
Mit dem Ansatz [mm]y=ax+b[/mm] erhält man eine spezielle Lösung der DGL. Die Lösungsgesmtheit der DGL. lautet:
$y(x)= [mm] ce^x-3x-3$ [/mm] (c [mm] \in \IR)
[/mm]
Gruß FRED
> Fragt sich dann nur
> noch, wie Du von der Substitution aus dahin gekommen
> wärst. Aber das ist Deine Aufgabe.
>
> Grüße
> reverend
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