T invers / T quer transponiert < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
Da ich nicht zu allem entsprechenden Formeln gefunden habe, meine Frage in Worten:
Wann gilt
[mm] T^{-1} [/mm] = "T quer transponiert"
?
Danke und Grüße.
Willkommen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Mi 28.03.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo zusammen,
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> Da ich nicht zu allem entsprechenden Formeln gefunden habe,
> meine Frage in Worten:
>
> Wann gilt
>
> [mm]T^{-1}[/mm] = "T quer transponiert"
In Formeln heisst das dann [mm] $T^{-1} [/mm] = [mm] \overline{T}^t$. [/mm] (Wobei das Transponiert-Zeichen je nach Geschmack auch anders aussehen kann :) )
Die Bedingung [mm] $T^{-1} [/mm] = [mm] \overline{T}^t$ [/mm] ist aequivalent zu $T [mm] \overline{T}^t [/mm] = I$, wobei $I$ die Einheitsmatrix ist. Aber das ist gerade die Bedingung dafuer, dass $T$ eine ![[]](/images/popup.gif) unitaere Matrix ist.
LG Felix
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Genau: $ T [mm] \overline{T}^t [/mm] = I $ gilt für unitäre Matrizen.
Und es ist wirklich logisch, dass daraus $ [mm] T^{-1} [/mm] = [mm] \overline{T}^t [/mm] $ folgt.
Bedeutet das nun nichts anderes als: "Was im reelen die Matrix "hoch minus eins" ist, ist im komplexen die Matrix "quer transponiert" "?!
Wobei hier dann für mich die Frage aufkommen würde, wieso es im reelen "relativ" aufwendig ist, die Matrix zu invertieren, und im Komplexen nur durch Umstellen von Zeilen und Spalten geht?
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Hallo willkommen!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das bedeutet es ganz und gar nicht! Vergiss nicht: Jede reelle Matrix ist auch eine komplexe Matrix. Man kann sich ja auch leicht ein Gegenbeispiel ueberlegen. Zum Beispiel: [mm] $A:=\pmat{i&1\\0&i}$ [/mm] ist eine komplexe Matrix mit Determinante $-1$. $A$ ist also invertierbar. Aber [mm] $A\cdot \overline A^t=\pmat{i&1\\0&i}\cdot \pmat{-i&0\\1&-i}=\pmat{2&-i\\i&1}$.
[/mm]
Gruss, banachella
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Wie muss ich dann
$ [mm] T^{-1} [/mm] = [mm] \overline{T}^t [/mm] $
verstehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Do 29.03.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wie muss ich dann
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> [mm]T^{-1} = \overline{T}^t[/mm]
>
> verstehen?
Als eine Gleichung, die fuer manche Matrizen gilt (naemlich genau fuer die unitaeren Matrizen), aber laengst nicht fuer alle.
LG Felix
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