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| Aufgabe | Zeige, dass die Gleichung y=tan(z) durch [mm] z=\frac{1}{2i}ln(\frac{1+iy}{1-iy}) [/mm] invertiert werden kann.
Was ist dann dz/dy? |
Hallo,
ich habe einfach mal angefangen:
[mm] tan(z)=\frac{sin(z)}{cos(z)} [/mm] mit:
[mm] sin(z)=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})=\frac{1}{2i}[(\frac{1+iy}{1-iy})^{\frac{1}{2}}-(\frac{1+iy}{1-iy})^{-\frac{1}{2}}]
[/mm]
[mm] cos(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})=\frac{1}{2}[(\frac{1+iy}{1-iy})^{\frac{1}{2}}+(\frac{1+iy}{1-iy})^{-\frac{1}{2}}]
[/mm]
Also:
tan(z)=Also [mm] tan(z)=\frac{i\left[(\frac{1+iy}{1-iy})^{\frac{1}{2}}-(\frac{1+iy}{1-iy})^{-\frac{1}{2}}\right]}{(\frac{1+iy}{1-iy})^{\frac{1}{2}}+(\frac{1+iy}{1-iy})^{-\frac{1}{2}}}
[/mm]
So ab da komme ich jetzt nicht weiter. Wie kann ich das noch vereinfachen?
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Hallo T_sleeper,
> Zeige, dass die Gleichung y=tan(z) durch
> [mm]z=\frac{1}{2i}ln(\frac{1+iy}{1-iy})[/mm] invertiert werden
> kann.
> Was ist dann dz/dy?
> Hallo,
>
> ich habe einfach mal angefangen:
> [mm]tan(z)=\frac{sin(z)}{cos(z)}[/mm] mit:
>
> [mm]sin(z)=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})=\frac{1}{2i}[(\frac{1+iy}{1-iy})^{\frac{1}{2}}-(\frac{1+iy}{1-iy})^{-\frac{1}{2}}][/mm]
>
> [mm]cos(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})=\frac{1}{2}[(\frac{1+iy}{1-iy})^{\frac{1}{2}}+(\frac{1+iy}{1-iy})^{-\frac{1}{2}}][/mm]
>
> Also:
> tan(z)=Also
> [mm]tan(z)=\frac{i\left[(\frac{1+iy}{1-iy})^{\frac{1}{2}}-(\frac{1+iy}{1-iy})^{-\frac{1}{2}}\right]}{(\frac{1+iy}{1-iy})^{\frac{1}{2}}+(\frac{1+iy}{1-iy})^{-\frac{1}{2}}}[/mm]
Da hat sich ein kleiner Vorzeichenfehler eingeschlichen.
[mm]tan(z)=\frac{\red{-}i\left[(\frac{1+iy}{1-iy})^{\frac{1}{2}}-(\frac{1+iy}{1-iy})^{-\frac{1}{2}}\right]}{(\frac{1+iy}{1-iy})^{\frac{1}{2}}+(\frac{1+iy}{1-iy})^{-\frac{1}{2}}}[/mm]
>
> So ab da komme ich jetzt nicht weiter. Wie kann ich das
> noch ereinfachen?
Ja, erweitere hier den Bruch mit [mm]\wurzel{1-iy}*\wurzel{1+iy}[/mm].
Gruss
MathePower
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