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| Aufgabe | Sei g eine Gerade, k=k(M,r) ein Kreis und T [mm] \in [/mm] g [mm] \cap [/mm] k. Zeigen Sie: g ist genau dann Tangente an k, wenn (MT) [mm] \perp [/mm] g.
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Also ich hab mir mal ein paar Gedanken gemacht.
Währe schön, wenn mal jemand drüber schauen könnte.
Voraussetzungen:
- g Gerade
- k=k(M,r) Kreis
- T [mm] \in [/mm] g [mm] \cap [/mm] k
Zu zeigen:
g Tangente an k [mm] \gdw [/mm] (MT) [mm] \perp [/mm] g
Beweis:
" [mm] \Rightarrow [/mm] "
Sei g Tangente an k [mm] \Rightarrwo [/mm] | g [mm] \cap [/mm] k | = 1 = T.
Wähle Punkte S und S´ mit [ST] [mm] \cong [/mm] [S´T], [MS] [mm] \cong [/mm] [MS´] und
Winkel (MST) [mm] \cong [/mm] Winkel(MS´T)
[mm] \Rightarrow \Delta [/mm] (SMT) [mm] \cong \Delta [/mm] (S´MT)
[mm] \Rightarrow [/mm] Winkel (MTS) [mm] \cong [/mm] Winkel (MTS´)
Dies sind Nebenwinkel, da sie kongruent sind, folgt, dass sie rechte Winkel sind.
[mm] \Rightarrow [/mm] (MT) [mm] \perp [/mm] g
" [mm] \Leftarrow [/mm] "
Es gelt (MT) [mm] \perp [/mm] g.
Zeige: T ist eindeutig und | g [mm] \cap [/mm] k | = 1.
1. Fall:
| g [mm] \cap [/mm] k | = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert kein T [mm] \in [/mm] g [mm] \cap [/mm] k Widerspruch zur Voraussetzung
[mm] \Rightarrow [/mm] | g [mm] \cap [/mm] k | [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2. Fall:
| g [mm] \cap [/mm] k | [mm] \ge [/mm] 2
Das ist aber nicht möglich. Also | g [mm] \cap [/mm] k | = 2
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existieren 2 Punkte T, T´ [mm] \in [/mm] g [mm] \cap [/mm] k
Man fälle das Lot h von M auf g. Sei g [mm] \cap [/mm] h = R.
[mm] \to [/mm] R [mm] \not= [/mm] T [mm] \not= [/mm] T´und R [mm] \not\in [/mm] g [mm] \cap [/mm] k Wiederspruch zu der Voraussetzung
[mm] \Rightarrow [/mm] | g [mm] \cap [/mm] k | [mm] \not=2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] | g [mm] \cap [/mm] k | = 1 = T
[mm] \Rightarrow [/mm] g ist Tangente an k [mm] \Box
[/mm]
Über Verbesserungsvorschläge würde ich mich freuen.
Ich habe diese Aufgabe in keinem andren Forum veröffentlicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Do 19.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sei g eine Gerade, k=k(M,r) ein Kreis und T [mm]\in[/mm] g [mm]\cap[/mm] k.
> Zeigen Sie: g ist genau dann Tangente an k, wenn (MT) [mm]\perp[/mm]
> g.
>
> Also ich hab mir mal ein paar Gedanken gemacht.
> Währe schön, wenn mal jemand drüber schauen könnte.
>
> Voraussetzungen:
> - g Gerade
> - k=k(M,r) Kreis
> - T [mm]\in[/mm] g [mm]\cap[/mm] k
>
> Zu zeigen:
> g Tangente an k [mm]\gdw[/mm] (MT) [mm]\perp[/mm] g
>
> Beweis:
>
> " [mm]\Rightarrow[/mm] "
> Sei g Tangente an k [mm]\Rightarrwo[/mm] | g [mm]\cap[/mm] k | = 1 = T.
> Wähle Punkte S und S´ mit [ST] [mm]\cong[/mm] [S´T], [MS] [mm]\cong[/mm]
> [MS´] und
> Winkel (MST) [mm]\cong[/mm] Winkel(MS´T)
Wieso kannst du, ohne senkrecht vorrauszusetzen, beides wählen? das setzt doch schon vorraus, dass MT Mittelsenkrechte ist?
frei wählen kannst du entweder ST=S'T ODER MS=MS'!
> [mm]\Rightarrow \Delta[/mm] (SMT) [mm]\cong \Delta[/mm] (S´MT)
> [mm]\Rightarrow[/mm] Winkel (MTS) [mm]\cong[/mm] Winkel (MTS´)
> Dies sind Nebenwinkel, da sie kongruent sind, folgt, dass
> sie rechte Winkel sind.
> [mm]\Rightarrow[/mm] (MT) [mm]\perp[/mm] g
>
> " [mm]\Leftarrow[/mm] "
> Es gelt (MT) [mm]\perp[/mm] g.
> Zeige: T ist eindeutig und | g [mm]\cap[/mm] k | = 1.
> 1. Fall:
> | g [mm]\cap[/mm] k | = [mm]\emptyset[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es existiert kein T [mm]\in[/mm] g [mm]\cap[/mm] k Widerspruch
> zur Voraussetzung
> [mm]\Rightarrow[/mm] | g [mm]\cap[/mm] k | [mm]\not= \emptyset[/mm]
> 2. Fall:
> | g [mm]\cap[/mm] k | [mm]\ge[/mm] 2
> Das ist aber nicht möglich. Also | g [mm]\cap[/mm] k | = 2
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es existieren 2 Punkte T, T´ [mm]\in[/mm] g [mm]\cap[/mm] k
> Man fälle das Lot h von M auf g. Sei g [mm]\cap[/mm] h = R.
> [mm]\to[/mm] R [mm]\not=[/mm] T [mm]\not=[/mm] T´und R [mm]\not\in[/mm] g [mm]\cap[/mm] k Wiederspruch
> zu der Voraussetzung
Das versteh ich nicht! wieso ist [mm] R\ne [/mm] T wegen MT senkrecht g ist R=T [mm] R\ne [/mm] T'
> [mm]\Rightarrow[/mm] | g [mm]\cap[/mm] k | [mm]\not=2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] | g [mm]\cap[/mm] k | = 1 = T
> [mm]\Rightarrow[/mm] g ist Tangente an k
> [mm]\Box[/mm]
>
Gruss leduart
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