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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 So 07.12.2008 | | Autor: | sunbell |
| Aufgabe | [mm] {f(x)}=\bruch{x^2+1}{2x}
[/mm]
Ermittle die Gleichung aller Tangenten an das Bild von f (x), die die x-Achse im Punkt [mm] s(-\bruch{3}{4}/0) [/mm] schneiden. |
Hey Leute,
also ich weiß nicht genau wie ich die Aufgabe lösen soll, weil wir so eine ähnliche schonmal in der schule hatten und wir damals den schwerern weg genommen hatten und wir jetzte zu hause uns einen leichteren weg überlegen müssen.
also, ich denk mal das is wichtig:
y=mx+n
[mm] 0=-\bruch{3}{4}m+n
[/mm]
[mm] n=\bruch{3}{4}m
[/mm]
y= [mm] mx+\bruch{3}{4}m
[/mm]
muss ich jetzte für m die 1. ableitung einsetzen oder wie gehts jetzte weiter? oder für y die funktionsgleichung?
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> [mm]{f(x)}=\bruch{x^2+1}{2x}[/mm]
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> Ermittle die Gleichung aller Tangenten an das Bild von f
> (x), die die x-Achse im Punkt [mm]s(-\bruch{3}{4}/0)[/mm]
> schneiden.
> Hey Leute,
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> also ich weiß nicht genau wie ich die Aufgabe lösen soll,
> weil wir so eine ähnliche schonmal in der schule hatten und
> wir damals den schwerern weg genommen hatten und wir jetzte
> zu hause uns einen leichteren weg überlegen müssen.
>
> also, ich denk mal das is wichtig:
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> y=mx+n
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> [mm]0=-\bruch{3}{4}x+n[/mm]
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> [mm]n=\bruch{3}{4}x[/mm]
>
> y= [mm]mx+\bruch{3}{4}m[/mm]
>
> muss ich jetzte für m die 1. ableitung einsetzen oder wie
> gehts jetzte weiter? oder für y die funktionsgleichung?
Also ich komme leider nur auf eine Gerade, vllt ist bei mir aber noch ein Fehler drin.
Tut mir leid, ich hatte eine andere Aufgabenstellung angenommen, von daher stimmen deine Ansätze teilweise.
Du kannst von der gesuchten Tangentengleichung zumindest schon einmal einen x-Wert einsetzen, da du einen Punkt weißt:
$ [mm] t(-\bruch{3}{4})=m*-\bruch{3}{4}+n=0 [/mm] $
Jetzt brauchen wir den Schnittpunkt von f und t sowie die erste Ableitung, um auch ihre Steigungen gleichsetzen zu können.
Bedingung 1: $ f(x)=t(x) [mm] \gdw \bruch{x^2+1}{2x}=m*x+n [/mm] $
Bedingung 2: $ [mm] f'(x)=t'(x)=m_t \gdw \bruch{x^2-1}{2x^2}=m [/mm] $
Nun weiß ich endlich wie es geht, haha
Also wichtig ist zunächst die Erkenntnis, das $ [mm] m=\bruch{x^2-1}{2x^2} [/mm] $
Das setzten wir jetzt mit [mm] x_s [/mm] für den Schnittpunkt in die allgemeine Gleichung für Tangenten ein:
$ [mm] t(x)=m*(x-x_s)+y_s [/mm] $
$ [mm] t(x)=\bruch{x_s^2-1}{2x_s^2}*(x-x_s)+\bruch{x_x^2+1}{2x_s} [/mm] $
Jetzt können wir deinen Punkt s einsetzen, durch den diese Tangente gehen soll:
$ [mm] 0=\bruch{x_s^2-1}{2x_s^2}*(\bruch{3}{4}-x_s)+\bruch{x_x^2+1}{2x_s} [/mm] $
Das nach [mm] x_s [/mm] auflösen liefert dir endlich die gesuchten Schnittpunkte:
[mm] x_{s1}=\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] x_{s2}=-3
[/mm]
Damit kannst du jetzt jeweils Steigung und Tangentengleichung bestimmen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 So 07.12.2008 | | Autor: | sunbell |
hmm wie ich gesehen hab, hast du als m [mm] -\bruch{7}{18}..
[/mm]
aber laut den aufzeichnungen meiner lehrerin kommen da 2 tangenten raus...
also einmal y1=-4x-3
y2= [mm] \bruch{4}{9} +\bruch{1}{3}...
[/mm]
jetzt weiß ich ja noch weniger was richtig bzw. falsch ist...
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Sorry habe nicht genau gelesen, da steht ja nicht im Punkt s schneiden, sondern die x-Achse im Punkt s schneiden, der Schnittpunkt zwischen f und Tangente ist ein anderer, ich überarbeite oben nochmal, bitte warten. Sorry!
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:29 So 07.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Adamantin
Die Antwort passt nicht zur Aufgabe. Es soll nicht die Tangente in S (das gar nicht auf der Kurve liegt) bestimmt werden. deshalb ist f'(-3/4) sinnlos.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 So 07.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bis hierhin hast du recht. Das sind jetzt alle Geraden, die durch den Punkt S gehen.
jetzt suchst du noch den Punkt (x1,f(x1)) durch den die Tangente geht.
da hast du 2 Wege:
1. du kennst die allgemeine Tangentengleichung in (x1,f(x1) darin ist m=f'(x1) n= f'(x1)*x1*f(x1)=3/4m
einsetzen, 2 gleichungen mit den 2 Unbekannten x1 und m. daraus m bestimmen.
2. Weg. die Steigung einer geraden von S nach x1,f(x1) ist
(f(x1)-0)/(x1*3/4) das muss gleich der Steigung in x1 sein also =f'(x1) daraus kannst du x1 ausrechnen und dann m=f'(x1)
3. Auf deine Frage: 1. du musst für m in deine gleichung f'(x1) einsetzen und ausserdem noch die gleichung in y=f(x1) einsetzen.
Gruss leduart
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