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Forum "Differenzialrechnung" - Tangente an Graph
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Tangente an Graph: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 So 23.04.2006
Autor: smoothoperator

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f mit dem Grafen K durch [mm] f(x)=x^3. [/mm]
a) Die Tangente an K in B(1|1) schneidet K im Punkt P. Bestimmen Sie P.
b) Die Tangente an K in dem beliebigen Punkt [mm] (x_b|x_b^3) [/mm] schneidet K im Punkt P. Bestimmen Sie P in Abhängigkeit von xb.
c) Zeigen Sie: Die Normale von K in [mm] B(x_b|x_b^3) [/mm] hat mit K keinen weitern gemeinsamen Punkt.

Hallo Leute,
also die a) habe ich noch hinbekommen. P ist (-2|-4). Aber die anderen beiden Aufgaben kriege ich nicht hin, könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen?

Liebste Grüße und schon  mal Danke, Gaby


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Tangente an Graph: Korrekturen + Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 So 23.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Gaby!


> also die a) habe ich noch hinbekommen. P ist (-2|-4).

[notok] Hhm.. hier habe ich aber $P \ ( \ -2 \ | \ [mm] -\red{8} [/mm] \ )$ heraus.



Bei Aufgabe b.) gehen wir genauso vor wie bei a.). (sei $b_$ die frei wählbare Berührstelle [mm] $x_b$) [/mm] :

[mm] $m_t [/mm] \ = \ f'(b) \ = \ [mm] 3*b^2$ [/mm]


Punkt-Steigungs-Form: [mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-y_b}{x-x_b}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ $3*b^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-b^3}{x-b}$ [/mm]

[mm] $\gdw$ [/mm]   $y \ = \ [mm] 3b^2*x [/mm] - [mm] 2b^3$ [/mm]


Diese Tangentengleichung nun mit dem Funktionsterm gleichsetzen und alles auf eine Seite der Gleichung bringen:

[mm] $3b^2*x [/mm] - [mm] 2b^3 [/mm] \ = \ [mm] x^3$ $\gdw$ $x^3-3b^2*x [/mm] + [mm] 2b^3 [/mm] \ = \ 0$


Diese Gleichung wird auf jeden Fall durch den Wert [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] x_b [/mm] \ = \ b$ erfüllt (da es sich hier ja um die vorgegebene Berührstelle handelt), so dass wir hier folgende MBPolynomdivision durchführen können:

[mm] $\left(x^3-3b^2*x + 2b^3\right) [/mm] \ : \ (x-b) \ = \ ...$


Den entstehenden quadratischen Ausdruck können wir dann mit der MBp/q-Formel lösen und erhalten neben der Lösung [mm] $x_2 [/mm] \ = \ b$ (es handelt sich als hierbei logischerweise um eine doppelte Nullstelle) den gesuchten Schnittpunkt [mm] $x_s [/mm] \ = \ [mm] x_3 [/mm] \ = \ -2b$ (bitte nachrechnen).


Bei Aufgabe c.) geht es genauso, nur gilt hier für die Steigung [mm] $m_n$ [/mm] der Normalen:

[mm] $m_n [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{f'(b)} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{3b^2}$ [/mm] .


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Tangente an Graph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 So 23.04.2006
Autor: smoothoperator

Hallo Loddar,

erst mal vielen Dank. Bis zur Polinomdivision kann ich dir ja noch folgen, aber ich wäre nie selber darauf gekommen eine zu machen. Vielleicht kannst du mir sagen, warum man das machen muss, das verstehe ich nämlch nicht.

Gruß, Gaby
Bezug
                        
Bezug
Tangente an Graph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 So 23.04.2006
Autor: Haeslein

Hallo,

du machst Polynomdivision, um deine Gleichung vom Grad 3 lösen zu können. (Dabei betrachtest du b einfach nur als Platzhalter und musst dir dann eine Methode suchen, um die Gleichung nach x lösen zu können.)

Da du bei einem Term mit [mm] x^3 [/mm] aber keine Formel wie die pq-Formel bzw. die quadratische Ergänzung hast, benötigst du eine andere Methode, um die Gleichung auf eine quadratische zu reduzieren, die du lösen kannst.

Deshalb suchst du dir zunächst einen Wert, der die Gleichung erfüllt, hier also das b. Dann teilst du die gesamte Gleichung durch x minus die gefundene Zahl. (An der Uni nennt man das "Erkennen durch scharfes Hinsehen" :-) )

Das Ergebnis dieser Division ist dann eine neue Gleichung von einem geringeren Grad. Diese muss man dann entweder weiter teilen durch Raten neuer Werte, die die Gleichung erfüllen oder man kann sie lösen, wenn der Grad schon klein genug ist.

Ich hoffe, du hast das nun einigermaßen verstanden.


Gruß
Jasmin
Bezug
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