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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Zwille |
Hallo,
ich habe eine Funktion gegeben, die wie folgt lautet:
f(x) = [mm] \bruch{1}{30} [/mm] * x³ + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * x² - [mm] \bruch{21}{10} [/mm] * x
Ebenso habe ich einen Punkt P(10/20), der nicht auf dem Graphen der Funktion f(x) liegt. Zeichnet man nun den Graphen und stellt ihn sich eindimensional vor, so dass man annehmen kann, das ein Auto auf dem Graphen fährt.
Aufgabe ist es nun, die Tangente zu finden, die den Graphen der Funktion f(x) berührt und durch den Punkt P geht. Gefragt ist also der Punkt, an dem das Auto aus "dem Graphen" fliegt und den Punkt P berührt.
Ich hoffe ich konnte die Problematik verständlich genug erklären.
Nun meine Überlegung:
1. allg. Tangentengleichung: y = mx + n
2. allg: 1. Ableitung [mm] \hat= [/mm] m der Tangentengleichung.
Die erste Ableitung der Funktion f(x) ist dann:
f'(x) = [mm] \bruch{1}{10} [/mm] * x² + [mm] \bruch{2}{5} [/mm] * x - [mm] \bruch{21}{10}
[/mm]
Setzt man das nun in die Tangentengleichung ein, erhält man:
y =( [mm] \bruch{1}{10} [/mm] * x² + [mm] \bruch{2}{5} [/mm] * x - [mm] \bruch{21}{10} [/mm] ) * x + n
Aber irgendwie weiß ich nicht weiter, kann mir jemand dabei helfen ?
Grüße
Zwille
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tach,
das auto verlässt den graphen im punkt T(x; [mm] \bruch{1}{30} [/mm] * x³ + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * x² - [mm] \bruch{21}{10} [/mm] * x )
von diesem punkt aus verlässt das auto tangential die strecke. also m = f'(x) =$ [mm] \bruch{1}{10} [/mm] $ * x² + $ [mm] \bruch{2}{5} [/mm] $ * x - $ [mm] \bruch{21}{10} [/mm] $
andereseits ist die tangente eine gerade durch die punkte T und P(10/20).
deshalb kannst du die steigung durch das dazugehörige steigungsdreieck berechnen. nun setzt du die beiden steigungen gleich und löst nach x auf. das sollte es dann normalerweise sein.
Gruß, chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Zwille |
meinst du denn, dass ich das wie folgt machen soll:
m = [mm] \bruch{y-y_{0}}{x-x_{0}}
[/mm]
m = [mm] \bruch{20- ( \bruch{1}{30} * x³ + \bruch{1}{5} * x² - \bruch{21}{10} * x)}{10-x}
[/mm]
Gleichsetzen:
f'(x) = m
[mm] \bruch{1}{10} [/mm] * x² + [mm] \bruch{2}{5} [/mm] * x - [mm] \bruch{21}{10} [/mm] = [mm] \bruch{20- ( \bruch{1}{30} * x³ + \bruch{1}{5} * x² - \bruch{21}{10} * x)}{10-x}
[/mm]
und dann nach x auflösen oder wie hast du das gemeint ???
Grüße
Zwille
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Hallo Zwille,
> meinst du denn, dass ich das wie folgt machen soll:
>
> m = [mm]\bruch{y-y_{0}}{x-x_{0}}[/mm]
>
> m = [mm]\bruch{20- ( \bruch{1}{30} * x³ + \bruch{1}{5} * x² - \bruch{21}{10} * x)}{10-x}[/mm]
>
> Gleichsetzen:
>
> f'(x) = m
> [mm]\bruch{1}{10}[/mm] * x² + [mm]\bruch{2}{5}[/mm] * x - [mm]\bruch{21}{10}[/mm] =
> [mm]\bruch{20- ( \bruch{1}{30} * x³ + \bruch{1}{5} * x² - \bruch{21}{10} * x)}{10-x}[/mm]
>
> und dann nach x auflösen oder wie hast du das gemeint ???
ja, nach x auflösen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Zwille |
könntest du mir vll. ein ergebnis schicken, ich werde es jetzt schnell mal ausrechnen. Ich wäre Dir (Euch) sehr dankbar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Zwille |
folgendes bekomme ich heraus:
[mm] \bruch{1}{10} [/mm] * x² + [mm] \bruch{2}{5} [/mm] * x - [mm] \bruch{21}{10} [/mm] = [mm] \bruch{20- ( \bruch{1}{30} * x³ + \bruch{1}{5} * x² - \bruch{21}{10} * x)}{10-x}
[/mm]
( [mm] \bruch{1}{10} [/mm] * x² + [mm] \bruch{2}{5} [/mm] * x - [mm] \bruch{21}{10}) [/mm] * (10 - x) = 20- ( [mm] \bruch{1}{30} [/mm] * x³ + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * x² - [mm] \bruch{21}{10} [/mm] * x)
x² - [mm] \bruch{1}{10} [/mm] * x³ + 4x - [mm] \bruch{2}{5} [/mm] * x² - 21 + [mm] \bruch{21}{10} [/mm] = 20 - [mm] \bruch{1}{30} [/mm] * x³ - [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * x² + [mm] \bruch{21}{10} [/mm] * x
nach einem weiteren Schritt, den ich auslasse, komme ich auf folgendes:
[mm] \bruch{-1}{15} [/mm] * x³ + [mm] \bruch{8}{5} [/mm] * x² + 4x = 41
Aber wie rechne ich jetzt weiter ?
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Hi, Zwille,
> folgendes bekomme ich heraus:
>
> [mm]\bruch{1}{10}[/mm] * x² + [mm]\bruch{2}{5}[/mm] * x - [mm]\bruch{21}{10}[/mm] =
> [mm]\bruch{20- ( \bruch{1}{30} * x³ + \bruch{1}{5} * x² - \bruch{21}{10} * x)}{10-x}[/mm]
>
> ( [mm]\bruch{1}{10}[/mm] * x² + [mm]\bruch{2}{5}[/mm] * x - [mm]\bruch{21}{10})[/mm]
> * (10 - x) = 20- ( [mm]\bruch{1}{30}[/mm] * x³ + [mm]\bruch{1}{5}[/mm] * x²
> - [mm]\bruch{21}{10}[/mm] * x)
>
> x² - [mm]\bruch{1}{10}[/mm] * x³ + 4x - [mm]\bruch{2}{5}[/mm] * x² - 21 +
> [mm]\bruch{21}{10}[/mm] = 20 - [mm]\bruch{1}{30}[/mm] * x³ - [mm]\bruch{1}{5}[/mm] *
> x² + [mm]\bruch{21}{10}[/mm] * x
Da fehlt das x bei [mm] \bruch{21}{10} [/mm] auf der linken Seite!
> nach einem weiteren Schritt, den ich auslasse, komme ich
> auf folgendes:
>
> [mm]\bruch{-1}{15}[/mm] * x³ + [mm]\bruch{8}{5}[/mm] * x² + 4x = 41
Hier müsste es nun [mm] \bruch{4}{5}x^{2} [/mm] heißen!
Zudem solltest Du die Konstante 41 nach links ziehen, um ein Nullstellenproblem zu kriegen.
>
>
> Aber wie rechne ich jetzt weiter ?
Tja: Da es anscheinend keine ganzzahlige Lösung gibt, musst Du ein Näherungsverfahren verwenden! Hier schlage ich - wenn Du es kennst - das Newton-Verfahren vor. Startwert: x=6 (da der gesuchte Punkt ja sehr weit rechts liegen muss, wie man an einer Skizze der Ausgangssituation leicht erkennen kann!)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Di 20.09.2005 | | Autor: | Zwille |
ja, danke für Eure Tipps,
ich habe einen Wert von x = 6,418 rausbekommen, der erscheint mir auch durchaus als realistisch.
Grüße
Zwille
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