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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mo 25.05.2009 | | Autor: | LiN24 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve mit der Gleichung
f(x) = (1 + [mm] sin2x)^{2x +1} [/mm] ; x=0 |
Hi,
ich hab erstmal den Punkt bestimmt, durch den die Tangente verläuft
P(0/1)
dann hab ich f(x) erstmal zu
f(x) = [mm] e^{(2x+1)*ln(1+sin2x)} [/mm] umgeformt, damit ich leichter ableiten kann, weil [mm] (e^{z})' [/mm] = [mm] e^{z} [/mm] * z'
z hab ich wiederrum unterteilt in:
v = 2x +1
v'= 2
[mm] u_{1} [/mm] = ln (a)
[mm] u_{1} [/mm] ' = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] * a'
[mm] u_{2} [/mm] = 1 + sin2x
[mm] u_{2} [/mm] ' = 2cos2x
k = ln(1+sin2x)
k' = [mm] \bruch{2cos2x}{1+sin2x}
[/mm]
jetzt hört es aber bei mir auf, müsste jetzt ja nochmal die Produktregel anwenden und hätte dann den Anstieg der Tangente wegen f(x)' = m
würde mich freuen, wenn mir jemand bei der Ableitung helfen könnte oder sogar nen einfacheren Lösungsweg für die Aufgabe hat
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve mit
> der Gleichung
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> f(x) = (1 + [mm]sin2x)^{2x +1}[/mm] ; x=0
> Hi,
>
> ich hab erstmal den Punkt bestimmt, durch den die Tangente
> verläuft
> P(0/1)
>
> dann hab ich f(x) erstmal zu
>
> f(x) = [mm]e^{(2x+1)*ln(1+sin2x)}[/mm] umgeformt, damit ich leichter
> ableiten kann, weil [mm](e^{z})'[/mm] = [mm]e^{z}[/mm] * z'
>
> z hab ich wiederrum unterteilt in:
>
> v = 2x +1
> v'= 2
>
> [mm]u_{1}[/mm] = ln (a)
> [mm]u_{1}[/mm] ' = [mm]\bruch{1}{a}[/mm] * a'
>
> [mm]u_{2}[/mm] = 1 + sin2x
> [mm]u_{2}[/mm] ' = 2cos2x
>
>
> k = ln(1+sin2x)
> k' = [mm]\bruch{2cos2x}{1+sin2x}[/mm]
>
> jetzt hört es aber bei mir auf, müsste jetzt ja nochmal die
> Produktregel anwenden und hätte dann den Anstieg der
> Tangente wegen f(x)' = m
Wozu das? Du hast doch schon alle Teile beisammen: [mm] f(x) =e^h(x)[/mm] mit [mm] h(x)=ln(1+sin 2x) * (2x+1)[/mm]. Mit
[mm](ln(1+sin 2x))'=\bruch{2 cos 2x}{1+sin 2x}[/mm] und [mm](2x+1)'=2[/mm] kannst Du jetzt mit der Produktregel [mm] h'[/mm] berechnen; [mm]f'[/mm] ergibt sich dann in Verbindung mit der Kettenregel.
Gruß
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Di 26.05.2009 | | Autor: | LiN24 |
ich hab jetzt weiter gemacht, aber ich krieg das jetzt nicht gekürzt:
z= ln(1+sin2x)*(2x+1)
z'= 2 ln(1+sin2x) + [mm] \bruch{(2x+1)*(2cos2x)}{1+sin2x}
[/mm]
dann wäre [mm] (e^{z})'= e^{z} [/mm] * z'
wie krieg ich das jetzt zur Tangentengleichung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Di 26.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lin!
Berechne nun duch Einsetzen $f'(0)_$ . Damit kannst du dann in die allgemeine Tangentengleichung gehn mit:
$$t(x) \ = \ [mm] f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)$$
[/mm]
In Deinem Falle ist [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ , und $f(0)_$ hast Du ja auch bereits berechnet.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Di 26.05.2009 | | Autor: | LiN24 |
ich hab jetzt als Tangentengleichung:
t(x) = 2x + 1
ist das richtig oder hab ich mich jetzt noch irgendwo verrechnet ???
danke schonmal für die Hilfe 
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Di 26.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo LiN!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich habe dasselbe erhalten.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Di 26.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo LiN!
Da hier nur nach einem speziellen Wert der Ableitung gesucht ist (nämlich $f'(0) \ = \ ...$ ), bietet sich das Verfahren der logarithmischen Differenzierung an:
$$y \ = \ [mm] \left[1 + \sin(2x)\right]^{2x +1}$$
[/mm]
[mm] $$\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] (2x+1)*\ln\left[1 + \sin(2x)\right]$$
[/mm]
Nun auf beiden Seiten ableiten:
[mm] $$\bruch{1}{y}*y' [/mm] \ = \ ...$$
Damit kann man dann $y'(0)_$ schnell ermitteln.
Gruß
Loddar
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