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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Sa 22.09.2007 | | Autor: | Nima |
| Aufgabe | a)Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm] -\bruch{1}{2}x^{2} [/mm] +2x +2.
Welche Gerade durch den Punkt P(-1|0) ist Tangente an den Graphen von f?
b) Ein Astronaut bewegt sich relativ zu seinem Mutterschiff auf einer parabelförmigen Kurve.Legt man den Ursprung eines Koordinatensystems in das Mutterschiff, so kann diese Kurve durch die Funktion f(x) = [mm] \bruch{15}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^{2} [/mm] beschrieben werden.Der Astronaut verfügt über Antriebsdrüsen, welche dem Astronauten den Parabelflug ermöglichen.In welchem Punkt der Kurve müssen die Antriebsdrüsen abgeschaltet werden, damit der Astronaut sein nächstes Ziel P(8|0) geradlinig ansteuern kann? |
Hallo ihr alle!
Die beiden obigen Aufgaben handeln ja von Tangenten an Parabeln durch einen bestimmten Punkt. Ich habe mir natürlich schon gedacht, dass folgende Beziehungen gelten sollten :
m = f'(xo) und t(xo)=f(xo)
Ich könnte zwar eine Tangente an einen Punkt von der Parabel legen, aber leider habe ich keine Ahnung, wie das rechnerisch aussieht, wenn die Gerade noch durch einen bestimmten Punkt gehen soll.
Bitte Hilfe!
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Hallo Nima!
> a)Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm]-\bruch{1}{2}x^{2}[/mm] +2x
> +2.
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> Welche Gerade durch den Punkt P(-1|0) ist Tangente an den
> Graphen von f?
>
> b) Ein Astronaut bewegt sich relativ zu seinem Mutterschiff
> auf einer parabelförmigen Kurve.Legt man den Ursprung eines
> Koordinatensystems in das Mutterschiff, so kann diese Kurve
> durch die Funktion f(x) = [mm]\bruch{15}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}x^{2}[/mm]
> beschrieben werden.Der Astronaut verfügt über
> Antriebsdrüsen, welche dem Astronauten den Parabelflug
> ermöglichen.In welchem Punkt der Kurve müssen die
> Antriebsdrüsen abgeschaltet werden, damit der Astronaut
> sein nächstes Ziel P(8|0) geradlinig ansteuern kann?
> Hallo ihr alle!
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> Die beiden obigen Aufgaben handeln ja von Tangenten an
> Parabeln durch einen bestimmten Punkt. Ich habe mir
> natürlich schon gedacht, dass folgende Beziehungen gelten
> sollten :
>
> m = f'(xo) und t(xo)=f(xo)
>
> Ich könnte zwar eine Tangente an einen Punkt von der
> Parabel legen, aber leider habe ich keine Ahnung, wie das
> rechnerisch aussieht, wenn die Gerade noch durch einen
> bestimmten Punkt gehen soll.
Das ist im Prinzip genau das umgekehrte Prinzip. Du sollst keine Tangente bestimmen, sondern eine finden. (Naja, vllt nicht ganz deutlich ausgedrückt...)
Jedenfalls funktioniert das folgendermaßen: Eine Gerade hat ja die allgemeine Form: y=mx+b. Wie du schon richtig festgestellt hast, gibt die Ableitung der Funktion die Steigung der Tangente an. Da du nicht weißt, für welchen Punkt die Gerade die Tangente ist, kannst du nur die allgemeine Steigung einer Tangente nehmen, also einfach nur die Ableitung der Funktion. Damit hast du m. Außerdem soll sie durch den Punkt (-1/0) gehen - das sind x- und y-Wert eines Punktes der Geraden, also kannst du das auch einsetzen. Und dann noch nach b auflösen.
>
> Bitte Hilfe!
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> a)Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm]-\bruch{1}{2}x^{2}[/mm] +2x
> +2.
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> Welche Gerade durch den Punkt P(-1|0) ist Tangente an den
> Graphen von f?
>
> b) Ein Astronaut bewegt sich relativ zu seinem Mutterschiff
> auf einer parabelförmigen Kurve.Legt man den Ursprung eines
> Koordinatensystems in das Mutterschiff, so kann diese Kurve
> durch die Funktion f(x) = [mm]\bruch{15}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}x^{2}[/mm]
> beschrieben werden.Der Astronaut verfügt über
> Antriebsdrüsen, welche dem Astronauten den Parabelflug
> ermöglichen.In welchem Punkt der Kurve müssen die
> Antriebsdrüsen abgeschaltet werden, damit der Astronaut
> sein nächstes Ziel P(8|0) geradlinig ansteuern kann?
> Hallo ihr alle!
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> Die beiden obigen Aufgaben handeln ja von Tangenten an
> Parabeln durch einen bestimmten Punkt. Ich habe mir
> natürlich schon gedacht, dass folgende Beziehungen gelten
> sollten :
>
> m = f'(xo) und t(xo)=f(xo)
>
> Ich könnte zwar eine Tangente an einen Punkt von der
> Parabel legen, aber leider habe ich keine Ahnung, wie das
> rechnerisch aussieht, wenn die Gerade noch durch einen
> bestimmten Punkt gehen soll.
Du bist absolut auf dem richtigen Weg! - Nun einfach konsequent alles über die gesuchte Tangente hinblättern, was Du im Grunde weisst: Sei also [mm] $x_B$ [/mm] die $x$-Koordinate des (natürlich vorerst noch unbekannten) Berührpunktes [mm] $B(x_B|f(x_B))$ [/mm] der gesuchten Tangente [mm] $t_B$ [/mm] an den Graphen von $f$. Dann folgt, dass die Geradengleichung der Tangente wie folgt lauten muss ('Punkt-Steigungsform'):
[mm]t_B:\; y= f'(x_B)\cdot (x-x_B)+f(x_B)[/mm]
Grund: Diese Gerade hat offensichtlich die richtige Steigung [mm] $f'(x_B)$ [/mm] und geht auch durch den gewünschten Berührpunkt $B$, denn es ist [mm] $t_B(x_B)=y_B$.
[/mm]
Nun muss also der Punkt [mm] $P(x_P|y_P)$ [/mm] auf dieser Tangente [mm] $t_B$ [/mm] an den Graphen von $f$ liegen. Dies bedeuet, dass gelten muss
[mm]y_P=t_B(x_P)[/mm]
bzw. mit Hilfe des obigen Ansatzes für die Geradengleichung von [mm] $t_B$ [/mm] ausformuliert
[mm]y_P=f'(x_B)\cdot (x_P-x_B)+f(x_B)[/mm]
dies sieht vielleicht auf den ersten Blick etwas verwirrend aus, ist aber offenbar eine Bestimmungsgleichung für [mm] $x_B$: [/mm] denn alle anderen Grössen sind bekannt. Ist [mm] $x_B$ [/mm] bestimmt, hat man natürlich auch die gesuchte Tangente [mm] $t_B$ [/mm] bestimmt, indem man den gefundenen Wert von [mm] $x_B$ [/mm] einfach in den obigen Ansatz für [mm] $t_B$ [/mm] einsetzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Sa 22.09.2007 | | Autor: | Nima |
Das ist ja das Problem, wenn ich die Daten in die letzte angegebene Gleichung einsetze, erhalte ich
0 = [mm] (-x_{b}+2) (-1-x_{b}) [/mm] + [mm] f(x_{b})
[/mm]
Dann entsteht eine quadratische Gleichung :
0 = [mm] x_{b} +x_{b}^{2} [/mm] -2 [mm] -2x_{b} [/mm] + [mm] f(x_{b})
[/mm]
Und wie soll ich das auflösen?
Könnte das bitte jemand auf die Gleichung anwenden, die in der Frage angegeben wird?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 So 23.09.2007 | | Autor: | Rene |
Hallo
[mm] f(x_b) [/mm] kannst du noch in die Gleichung einsetzen. Dann erhälst du eine quadratische Gleichung.
[mm]0=\frac{1}{2}x_b^2+x_b[/mm]
Diese besitz zwei Lösungen. Somit existieren zwei Geraden, die Tangenten an [mm]f(x)[/mm] sind und durch den Punkt [mm](-1/0)[/mm] verlaufen.
Viel Erfolg beim Lösen.
MFG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Mi 09.06.2010 | | Autor: | dana1986 |
| Aufgabe | Ein Astronaut reist entlang der Kurve y = [mm] x^2(von [/mm] links nach rechts).Wenn er an einem bestimmten Punkt das Triebwerk seines Fahrzeuges abschaltet, bewegt er sich entlang der zu
diesem Punkt gehörenden Tangente weiter. In welchem Punkt muss er dies tun, wenn er den
Punkt mit den Koordinaten (4/9) erreichen will? |
hi, also ich hab so ne ähnliche Aufgabe.
Da wäre ja die Steigugn der Tangente f'(x) = 2x und was mach ich dann?
y = m*x + b ist die Tangentengleichung oder eben dieses y = f'(x0) * (x-x0)+ f(x0)
Muss ich da den Punkt (4/9) einsetzen? Also für x0 = 4 und für y = 9 ?
GLG DANA
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:17 Do 10.06.2010 | | Autor: | Pappus |
> Ein Astronaut reist entlang der Kurve y = [mm]x^2(von[/mm] links
> nach rechts).Wenn er an einem bestimmten Punkt das
> Triebwerk seines Fahrzeuges abschaltet, bewegt er sich
> entlang der zu
> diesem Punkt gehörenden Tangente weiter. In welchem Punkt
> muss er dies tun, wenn er den
> Punkt mit den Koordinaten (4/9) erreichen will?
> hi, also ich hab so ne ähnliche Aufgabe.
>
> Da wäre ja die Steigugn der Tangente f'(x) = 2x und was
> mach ich dann?
>
> y = m*x + b ist die Tangentengleichung oder eben dieses y =
> f'(x0) * (x-x0)+ f(x0)
>
> Muss ich da den Punkt (4/9) einsetzen? Also für x0 = 4 und
> für y = 9 ?
>
> GLG DANA
Guten Morgen!
1. Deine Tangentengleichung ist richtig.
2. Die Koordinaten des Punktes P(4 / 9) erfüllen die Tangentengleichung. (An welcher Stelle der Gleichung müssen dann die Koordinaten eingesetzt werden?)
Die Koordinaten des Berührpunktes T(x0 / f(x0)) erfüllen zusätzlich die Parabelgleichung.
3. x0 wird von Dir gesucht (hoffentlich!)
4. Nach erfolgreicher Umformung erhältst Du eine Gleichung in x0, die Du lösen musst. Die Ergebnisse müssen unbedingt anhand des Aufgabentextes kritisch überprüft werden.
Viel Erfolg und FF!
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Do 10.06.2010 | | Autor: | dana1986 |
ich würde sagen
y = m * x + b
m = 2x einsetzen -> y = [mm] 2x^2 [/mm] + b
dann Punkt (4/9) einsetzen für x/y
-> 9 = [mm] 2*4^2 [/mm] + b -> 9 = 32 + b -> b = -23
also Tangentengleichung y = 2x² - 23
Oder dann so
y = f'(x0) * (x-x0)+ f(x0) y = 9, x = 4
9 = [mm] f'(x_0) [/mm] * (4 - [mm] x_0) [/mm] + [mm] f(x_0)
[/mm]
[mm] 2*(x_0) [/mm] * (4 - [mm] x_0) [/mm] + [mm] (x_0)^2
[/mm]
9 [mm] = 8*(x_0) [/mm] - [mm] 2*(x_0)^2 [/mm] + [mm] (x_0)^2
[/mm]
- [mm] x_0^2 [/mm] + [mm] 8x_0 [/mm] - 9 = 0 |*(-1)
[mm] x_0^2 [/mm] - [mm] 8x_0 [/mm] + 9 = 0
p-q-Formel oder quadr. Ergänzung
[mm] x_0 [/mm] = 1,3542 oder 6,645 = [mm] x_0
[/mm]
das krieg ich da raus.
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Hallo, deine beiden Stellen sind korrekt, an der Stelle [mm] x_0=4-\wurzel{7}\approx1,3542 [/mm] wird das Triebwerk abgeschaltet, in der Aufgabe steht ja "von links nach rechs", berechne jetzt noch den Funktionswert, es ist ja nach dem Punkt gefragt, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Do 10.06.2010 | | Autor: | dana1986 |
wollte gerade meine Lösung posten :)
Y = f '(x0) * (x - x0)+ f(x0)
9 = 2*x0 * (4 – x0) + x0²
9 = 8*x0 – 2x0² + x0²
9 = - x0² + 8x0 | *-1
-9 = x0² - 8x0 |+9
0 = x0² - 8x0 + 9 quadr. Ergänzung
0 = x0² - 8x0 + 16 – 16 + 9 _
7 = (x0 – 4)² /
wurzel 7 = x0-4 v - wurzel 7 = x0-4
6,64575 v 1,3525
P = (1,3525/1,834)
6,6.. kommt ja nicht in Frage da 4/9 ja unterhalb liegt.
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