Tangente für f(x)=e^x < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Di 06.01.2009 | | Autor: | Arnie09 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f_{a}=(1+a)*e^x*a [/mm] > -1.
a) Ermitteln Sie die Gleichungen der Tangente [mm] t_{a,P}, [/mm] die den Graphen von [mm] f_{a} [/mm] in [mm] P(2|f_{a}(2)) [/mm] berührt.
b) Zeigen Sie, dass es für jedes a genau eine Tangente [mm] t_{a,Q} [/mm] an den Graphen [mm] f_{a} [/mm] im Punkt [mm] Q(x_{Q}|f_{a}(x_{Q})) [/mm] gibt, die durch O(0|0) geht. |
Hallo,
bei dem Teil a) bin ich mir nicht ganz sicher, ob das so stimmt, deshalb würde ich euch gerne bitten, einmal zu schaun, ob die Gleichung so passt.
a) [mm] f_{a}(x)=(1+a)*e^x*a
[/mm]
[mm] f_{a}(2)=a²e²+ae²
[/mm]
[mm] f'_{a}(x)=(1+a)*e^x*a
[/mm]
[mm] f'_{a}(2)=(1+a)*e^2*a=ae²+a²e²
[/mm]
[mm] y-y_{0}=m(x-x_{0})
[/mm]
y-(a²e²+ae²)=ae²+a²e²(x-2)
y-a²e²-ae²=ae²x+a²e²x-2ae²-2a²e²
y=ae²x+a²e²x-2ae²-2a²e²+a²e²+ae²
y=ae²x+a²e²x-ae²-a²e²
y=ae²(x+ax-1-a)
Bei b bin ich dann schließlich mit [mm] x_{Q} [/mm] und x etwas sehr durcheinander gekommen:
b) [mm] f_{a}(x_{Q})=(1+a)*e^{x_{Q}}*a
[/mm]
[mm] f'_{a}(x_{Q})=(1+a)*e^{x_{Q}}*a
[/mm]
[mm] y-((1+a)*e^{x_{Q}}*a)=((1+a)*e^{x_{Q}}*a)*(x-x_{Q})
[/mm]
[mm] y-(ae^{x_{Q}}+a²e^{x_{Q}})=(ae^{x_{Q}}+a²e^{x_{Q}})*(x-x_{Q})
[/mm]
Soweit ging das ja noch...
[mm] y-ae^{x_{Q}}-a²e^{x_{Q}}=ae^{x_{Q}}*x-ae^{x_{Q}}*x_{Q}+a²e^{x_{Q}}x-a²e^{x_{Q}}*x_{Q}
[/mm]
[mm] y=ae^{x_{Q}}*x-ae^{x_{Q}}*x_{Q}+a²e^{x_{Q}}x-a²e^{x_{Q}}*x_{Q}+ae^{x_{Q}}+a²e^{x_{Q}}
[/mm]
[mm] y=ae^{x_{Q}}(x-x_{Q}+ax-ax_{Q}+1-a)
[/mm]
[mm] y=ae^{x_{Q}}(x-x_{Q}+1-a(1-x+x_{Q})) [/mm]
O(0|0)
Zuerst wollte ich x=0 einsetzen:
[mm] y=ae^{x_{Q}}(-x_{Q}+1-a+ax_{Q})
[/mm]
Meine Frage ist jetzt allerdings: was passiert mit [mm] x_{Q}? [/mm] Muss das auch mit 0 gleich gesetzt werden? Was ist mit a? Und wie komme ich auf y=0, was ja eigentlich bewiesen werden soll??
Könnt ihr mir damit vielleicht helfen?
Aber vielen Dank im voraus!
Liebe Grüße,
Arnie
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Hallo!
> bei dem Teil a) bin ich mir nicht ganz sicher, ob das so
> stimmt, deshalb würde ich euch gerne bitten, einmal zu
> schaun, ob die Gleichung so passt.
> a) [mm]f_{a}(x)=(1+a)*e^x*a[/mm]
> [mm]f_{a}(2)=a²e²+ae²[/mm]
> [mm]f'_{a}(x)=(1+a)*e^x*a[/mm]
> [mm]f'_{a}(2)=(1+a)*e^2*a=ae²+a²e²[/mm]
> [mm]y-y_{0}=m(x-x_{0})[/mm]
> y-(a²e²+ae²)=ae²+a²e²(x-2)
> y-a²e²-ae²=ae²x+a²e²x-2ae²-2a²e²
> y=ae²x+a²e²x-2ae²-2a²e²+a²e²+ae²
> y=ae²x+a²e²x-ae²-a²e²
> y=ae²(x+ax-1-a)
Diese Gleichung ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Man kann noch vereinfachen:
$x*a*x-1-a = x*(1+a) - (1+a) = (1+a)*(x-1)\ $,
also
$y = [mm] a*(a+1)*e^{2}*(x-1)$
[/mm]
Egal. Mich wundert es ein wenig, dass die Funktion so "groß" ist, hast du dich vielleicht verschrieben und da steht eigentlich sowas wie:
[mm] (a+1)*e^{x}, [/mm] a > -1
oder
[mm] (a+1)*e^{x*a}
[/mm]
...
Guck noch mal nach!
> Bei b bin ich dann schließlich mit [mm]x_{Q}[/mm] und x etwas sehr
> durcheinander gekommen:
Es ist erstmal ganz wichtig zu wissen, was gefordert ist: Wir wollen als Ergebnis etwas in der Form
[mm] x_{Q} [/mm] = ....irgendwas mit a....
stehen haben. Dann haben wir gezeigt, dass es zu jedem a irgendeine Stelle [mm] x_{Q} [/mm] gibt, wo die Tangente dann so an der Funktion anliegt dass sie auch durch den Koordinatenursprung (0,0) geht. Dieses [mm] x_{Q} [/mm] kann man dann leicht finden, indem man es bei bekanntem a oben in die herausbekommene Gleichung einsetzt.
Wichtig also für die Aufgabenstellung: Wir "kennen" a, auch wenn es nicht explizit dasteht, und wollen irgendwie mal nach [mm] x_{Q} [/mm] umstellen.
> b) [mm]f_{a}(x_{Q})=(1+a)*e^{x_{Q}}*a[/mm]
> [mm]f'_{a}(x_{Q})=(1+a)*e^{x_{Q}}*a[/mm]
> [mm]y-((1+a)*e^{x_{Q}}*a)=((1+a)*e^{x_{Q}}*a)*(x-x_{Q})[/mm]
>
> [mm]y-(ae^{x_{Q}}+a²e^{x_{Q}})=(ae^{x_{Q}}+a²e^{x_{Q}})*(x-x_{Q})[/mm]
> Soweit ging das ja noch...
>
> [mm]y-ae^{x_{Q}}-a²e^{x_{Q}}=ae^{x_{Q}}*x-ae^{x_{Q}}*x_{Q}+a²e^{x_{Q}}x-a²e^{x_{Q}}*x_{Q}[/mm]
>
> [mm]y=ae^{x_{Q}}*x-ae^{x_{Q}}*x_{Q}+a²e^{x_{Q}}x-a²e^{x_{Q}}*x_{Q}+ae^{x_{Q}}+a²e^{x_{Q}}[/mm]
> [mm]y=ae^{x_{Q}}(x-x_{Q}+ax-ax_{Q}+1\red{-a})[/mm]
An der rot markierten Stelle müsste "+a" stehen.
Ich möchte dir aber klar machen, dass du nicht immer alles erst ausmultiplizieren musst! Schon an der Stelle
[mm]y-((1+a)*e^{x_{Q}}*a)=((1+a)*e^{x_{Q}}*a)*(x-x_{Q})[/mm]
kannst du doch wunderbar sehen, dass du den ganzen Term [mm] $((1+a)*e^{x_{Q}}*a)$ [/mm] nur auf die andere Seite ziehen musst und dann ausklammern kannst!:
[mm]y-((1+a)*e^{x_{Q}}*a)=((1+a)*e^{x_{Q}}*a)*(x-x_{Q})[/mm]
[mm]\gdw y = ((1+a)*e^{x_{Q}}*a)*(x-x_{Q}) + ((1+a)*e^{x_{Q}}*a) = ((1+a)*e^{x_{Q}}*a)*(x-x_{Q} + 1)[/mm]
So... und nun haben wir die Tangentengleichung. Wir setzen nun (0,0) ein, um dann haben wir all unsere Voraussetzungen verpulvert und können hoffentlich nach [mm] x_{Q} [/mm] umstellen:
[mm]0 = ((1+a)*e^{x_{Q}}*a)*(-x_{Q} + 1)[/mm]
Durch [mm] $((1+a)*e^{x_{Q}}*a)$ [/mm] können wir getrost dividieren, das wird eh nie 0. (Vorausgesetzt, dass a > 0 was hoffentlich irgendwo in der Aufgabenstellung steht). Es bleibt:
[mm]0 = (-x_{Q} + 1)[/mm]
d.h. [mm] $x_{Q} [/mm] = 1$
[mm] x_{Q} [/mm] ist unabhängig von der Wahl immer 1, d.h. unabhängig vom Parameter a können wir an der Stelle x = 1 stets eine Tangente anlegen, die durch den Koordinatenursprung geht.
Grüße,
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Do 08.01.2009 | | Autor: | Arnie09 |
Hallo,
aber vielen Dank erst mal  . Die Lösung für b hab ich für die ausmultiplizierte Form noch einmal ausprobiert, es hat gepasst.
> . Mich wundert es ein wenig, dass die Funktion so
> "groß" ist, hast du dich vielleicht verschrieben und da
> steht eigentlich sowas wie:
>
> [mm](a+1)*e^{x},[/mm] a > -1
>
> oder
>
> [mm](a+1)*e^{x*a}[/mm]
>
Ich hab noch die Funktionen noch einmal überprüft, die stimmen soweit überein, das heißt wirklich *a.
Aber könntest du mir vielleicht zeigen, wie du bei
(x+ax-1-a) = x(1+a)-(1-a) = (1+a)(x-1)
das x in die Klammer bekommen hast?
Lg,
Arnie
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Hallo!
> Aber könntest du mir vielleicht zeigen, wie du bei
> (x+ax-1-a) = x(1+a)-(1-a) = (1+a)(x-1)
> das x in die Klammer bekommen hast?
Naja, es lautet ja
$(x+ax-1-a) = [mm] x(1+a)-(1\red{+}a)$
[/mm]
weil wenn du das Minus vor die Klammer schreibst, gilt es für alle Summanden darin!
Und dann klammere ich einfach (1+a) aus:
$x*(1+a)-(1+a) = (1+a)*(x-1)\ $
okay?
Grüße,
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Fr 09.01.2009 | | Autor: | Arnie09 |
Okay, danke
Gruß, Arnie
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