Tangente in Punkt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gesucht ist die Ebene welche den Punkt P(1,1) auf der Ebene [mm] f(x,y)=(x²+y²)e^{-x^2-y^2} [/mm] tangiert, folgende stehen zur Auswahl:
a) x+e²y+z=2
b) e²x+y+z=3
c) x+y+e²/2z=3
d) x+y+e²/2z=6 |
Hallo alle zusammen!
Also ich löse solche Aufgaben immer gerne so, als wären die Punkte a bis d nicht gegeben. Also ich bin irgendwie ganz nah dran, nur mir fehlt irgendwie der Sprung zur richtigen Gleichung (c)
Also meine Überlegung:
Die Ableitung der Funktion ergibt mir die Steigung der Tangente im jeweiligen Punkt an, gut also leiten wir unsere Funktion ab:
[mm] f(x,y)=(x²+y²)e^{-x^2-y^2} [/mm]
[mm] \partial [/mm] x: [mm] (2x)*e^{-x^2-y^2} +(x²+y²)*(-2x)e^{-x^2-y^2} [/mm]
[mm] \partial [/mm] y: [mm] (2y)*e^{-x^2-y^2} +(x²+y²)*(-2y)e^{-x^2-y^2} [/mm]
Nun suche ich die Tangente in P(1,1)
[mm] \partial [/mm] x: [mm] (2x)*e^{-x^2-y^2} +(x²+y²)*(-2x)e^{-x^2-y^2} [/mm] = [mm] -2e^{-2} [/mm]
[mm] \partial [/mm] y: [mm] (2y)*e^{-x^2-y^2} +(x²+y²)*(-2y)e^{-x^2-y^2} [/mm] = [mm] -2e^{-2} [/mm]
Eine Ebene ist ja immer definiert durch 2 Vektoren + 1 Punkt
Den Punkt haben wir
Einen Vektor haben wir
Mir fehlt ein zweiter Vektor welchen ich hier verwenden könnte.
Die Versuchung wäre hier natürlich, von den Lösungen a - d die Normalvektoren nehmen und durch ein Skalarprodukt zu bestimmen, welcher Normalvektor der Ebene ortogonal auf die Steigung meiner Tangente liegen würde, somit wüsste ich welche Ebene ich verwenden könnte (soweit richtig, oder?)
Nur wie gesagt, ich suche einen Weg ohne auf die Lösungen zurückzugreifen. Hat jemand einen Vorschlag?
Dankesehr
lg
Zuggel
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Stimmt, Du bist ganz nah dran.
Du hast einen Punkt.
Und du hast zwei partielle Ableitungen, und damit zwei Vektoren bzw. zwei Tangentialsteigungen/-richtungen. Es ist unschädlich, dass beide den gleichen Wert liefern - das ist bei einer (x,y)-symmetrischen impliziten Funktion ja das zu erwartende Ergebnis...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
Hm soll das heißen:
f(x,y9 => f(1,1) = = [mm] 2e^{-2} [/mm]
E:= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2e^{-2} } [/mm] + t [mm] *\vektor{2e^{-2} \\ 0 \\ 0} [/mm] + s * [mm] \vektor{0 \\ 2e^{-2} \\ 0}
[/mm]
Oder liege ich hiermit falsch?
Soweit war ich eben auch schon einmal, nur habe ich jetzt das Problem sie in Normal-Form zu bringen, es kommt eben nicht die Form heraus welche (c) beschreibt.
lg
Zuggel
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Nein, diese Vektoren stimmen noch nicht.
Schau Dir erst einmal eine Tangentengleichung in der Ebene an, also so ganz normal [mm] \a{}y=f(x) [/mm] an irgendeinem Punkt [mm] (x_0,f(x_0)). [/mm] Die Tangente hat in Koordinatenform ja das Aussehen [mm] y=f'(x_0)*x+b, [/mm] wobei das [mm] \a{}b [/mm] genau angegeben werden kann.
Dann geh zurück zu Deiner Funktion zweier Veränderlicher. Was ist denn die geometrische Deutung der partiellen Ableitungen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Nein, diese Vektoren stimmen noch nicht.
>
> Schau Dir erst einmal eine Tangentengleichung in der Ebene
> an, also so ganz normal [mm]\a{}y=f(x)[/mm] an irgendeinem Punkt
> [mm](x_0,f(x_0)).[/mm] Die Tangente hat in Koordinatenform ja das
> Aussehen [mm]y=f'(x_0)*x+b,[/mm] wobei das [mm]\a{}b[/mm] genau angegeben
> werden kann.
>
b wäre in meinem Fall ja P, oder?
> Dann geh zurück zu Deiner Funktion zweier Veränderlicher.
> Was ist denn die geometrische Deutung der partiellen
> Ableitungen?
Ich steh jetzt "partiell" auf dem Schlauch... Also partielle Ableitung dürfte man doch interpretieren können wie eine normale Ableitung bei einer Funktion die zB nur von x abhäng: Die Steigung der Tangente im gegebenen Punkt, oder nicht?
lg
Zuggel
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> b wäre in meinem Fall ja P, oder?
Nein, aber b muss in Deinem Fall so bestimmt werden, dass die Tangentialebene den geforderten Punkt auch enthält. In vektorieller Darstellung ist das ja ohne jede Mühe sicherzustellen, indem man einfach diesen Punkt als Auf- bzw. Stützpunkt nimmt.
> > Was ist denn die geometrische Deutung der partiellen
> > Ableitungen?
>
> Ich steh jetzt "partiell" auf dem Schlauch... Also
> partielle Ableitung dürfte man doch interpretieren können
> wie eine normale Ableitung bei einer Funktion die zB nur
> von x abhäng: Die Steigung der Tangente im gegebenen Punkt,
> oder nicht?
Jaaaa.
Fragt sich nur, in welcher Richtung die Steigung ermittelt wird, in (x,z) oder in (y,z) - was gehört zu welcher partiellen Ableitung?
>
> lg
> Zuggel
LG, rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > b wäre in meinem Fall ja P, oder?
>
> Nein, aber b muss in Deinem Fall so bestimmt werden, dass
> die Tangentialebene den geforderten Punkt auch enthält. In
> vektorieller Darstellung ist das ja ohne jede Mühe
> sicherzustellen, indem man einfach diesen Punkt als Auf-
> bzw. Stützpunkt nimmt.
>
> > > Was ist denn die geometrische Deutung der partiellen
> > > Ableitungen?
> >
> > Ich steh jetzt "partiell" auf dem Schlauch... Also
> > partielle Ableitung dürfte man doch interpretieren können
> > wie eine normale Ableitung bei einer Funktion die zB nur
> > von x abhäng: Die Steigung der Tangente im gegebenen Punkt,
> > oder nicht?
>
> Jaaaa.
> Fragt sich nur, in welcher Richtung die Steigung ermittelt
> wird, in (x,z) oder in (y,z) - was gehört zu welcher
> partiellen Ableitung?
Jetzt wo du mich so direkt fragst verstehe ich auch auf was du hinauswolltest, du wirst hier wahrscheinlich folgendes meinen:
Bei der Abhängigkeit von einer Variablen bestimme ich die Steigung der Tangente in x,y, bei der partiellen Ableitung jeweils:
[mm] \partial [/mm] x => x,z
[mm] \partial [/mm] y => y,z
Also könnte man davon ausgehen dass meine Ebene so defniert wird:
E := [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2e^{-2}} [/mm] + t [mm] \vektor{-2e^{-2} \\ 0 \\ 1} [/mm] + s* [mm] \vektor{0 \\ -2e^{-2} \\ 1}
[/mm]
Oder immer noch auf dem Holzweg?
lg
Zuggel
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Nein, das ist das Ende des Holzwegs.
Jetzt musst Du nur noch zeigen, dass dies die Parameterdarstellung der Ebene aus Antwort c) ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Mi 10.12.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hm soll das heißen:
>
> f(x,y9 => f(1,1) = = [mm]2e^{-2}[/mm]
>
> E:= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2e^{-2} }[/mm] + t [mm]*\vektor{2e^{-2} \\ 0 \\ 0}[/mm]
> + s * [mm]\vektor{0 \\ 2e^{-2} \\ 0}[/mm]
>
> Oder liege ich hiermit falsch?
>
> Soweit war ich eben auch schon einmal, nur habe ich jetzt
> das Problem sie in Normal-Form zu bringen, es kommt eben
> nicht die Form heraus welche (c) beschreibt.
>
> lg
> Zuggel
bist du dir sicher, dass da etwas von a bis d rauskommen soll?
ich erhalte
[mm]x+y+2e^2\cdot z=6[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Hm soll das heißen:
> >
> > f(x,y9 => f(1,1) = = [mm]2e^{-2}[/mm]
> >
> > E:= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2e^{-2} }[/mm] + t [mm]*\vektor{2e^{-2} \\ 0 \\ 0}[/mm]
> > + s * [mm]\vektor{0 \\ 2e^{-2} \\ 0}[/mm]
> >
> > Oder liege ich hiermit falsch?
> >
> > Soweit war ich eben auch schon einmal, nur habe ich jetzt
> > das Problem sie in Normal-Form zu bringen, es kommt eben
> > nicht die Form heraus welche (c) beschreibt.
> >
> > lg
> > Zuggel
>
>
> bist du dir sicher, dass da etwas von a bis d rauskommen
> soll?
>
> ich erhalte
>
> [mm]x+y+2e^2\cdot z=6[/mm]
*grins* Also eine Antwort in einer meine Frage-Threads habe ich auch noch nie gegeben. Also ja ich bin mir sicher, es sollte c) herauskommen
lg
Zuggel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Mi 10.12.2008 | | Autor: | weduwe |
> > Hm soll das heißen:
> >
> > f(x,y9 => f(1,1) = = [mm]2e^{-2}[/mm]
> >
> > E:= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2e^{-2} }[/mm] + t [mm]*\vektor{2e^{-2} \\ 0 \\ 0}[/mm]
> > + s * [mm]\vektor{0 \\ 2e^{-2} \\ 0}[/mm]
> >
> > Oder liege ich hiermit falsch?
> >
> > Soweit war ich eben auch schon einmal, nur habe ich jetzt
> > das Problem sie in Normal-Form zu bringen, es kommt eben
> > nicht die Form heraus welche (c) beschreibt.
> >
> > lg
> > Zuggel
>
>
> bist du dir sicher, dass da etwas von a bis d rauskommen
> soll?
>
> ich erhalte
>
> [mm]x+y+2e^2\cdot z=6[/mm]
ja c) ist korrekt
ich habe meinen fehler gefunden, ich habe irgendwo die "zwei" verloren bzw. an der falschen stelle eingefügt.
[mm](\vec{x}-\vektor{1\\1\\2e^{-2}})\cdot\vektor{2\\2\\e^2}=0\to 2x+2y+e^2\cdot z=6[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > > Hm soll das heißen:
> > >
> > > f(x,y9 => f(1,1) = = [mm]2e^{-2}[/mm]
> > >
> > > E:= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2e^{-2} }[/mm] + t [mm]*\vektor{2e^{-2} \\ 0 \\ 0}[/mm]
> > > + s * [mm]\vektor{0 \\ 2e^{-2} \\ 0}[/mm]
> > >
> > > Oder liege ich hiermit falsch?
> > >
> > > Soweit war ich eben auch schon einmal, nur habe ich jetzt
> > > das Problem sie in Normal-Form zu bringen, es kommt eben
> > > nicht die Form heraus welche (c) beschreibt.
> > >
> > > lg
> > > Zuggel
> >
> >
> > bist du dir sicher, dass da etwas von a bis d rauskommen
> > soll?
> >
> > ich erhalte
> >
> > [mm]x+y+2e^2\cdot z=6[/mm]
>
> ja c) ist korrekt
> ich habe meinen fehler gefunden, ich habe irgendwo die
> "zwei" verloren bzw. an der falschen stelle eingefügt.
>
> [mm](\vec{x}-\vektor{1\\1\\2e^{-2}})\cdot\vektor{2\\2\\e^2}=0\to 2x+2y+e^2\cdot z=6[/mm]
Hm von der Idee her ist deine Lösung relativ einleuchtend, nur wo du [mm] \vektor{2\\2\\e^2} [/mm] herbekommst, ist mir etwas schleierhaft...
Hier meine Vorgehensweise:
E:= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2e^{-2}} [/mm] + t* [mm] \vektor{-2e^{-2} \\ 0 \\ 1} [/mm] + s* [mm] \vektor{0 \\ -2e^{-2} \\ 1}
[/mm]
[mm] x=1+t*(-2e^{-2} [/mm] )
[mm] y=1+s*(-2e^{-2} [/mm] )
z=1-t-s
[mm] z=2e^{-2} [/mm] + [mm] \bruch{x-1}{-2e^{-2} } [/mm] + [mm] \bruch{y-1}{-2e^{-2} }
[/mm]
[mm] -2e^{-2}*z-x-y=-4e^{4}-2
[/mm]
Irgendwo wird bei mir wohl wahrscheinlich auch ein Fehler drinnen stecken (bin gerade auf der Suche).
Aber wie gesagt, wie du auf deinen Vektor kommst kann ich mir nicht erklären..
lg
Zuggel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Mi 10.12.2008 | | Autor: | weduwe |
einen normalenvektor von f(x,y,z) = 0 im punkt P findet man durch gradientenbildung.
(dieser weg gefällt mir persönlich besser)
damit hat man
[mm] \vec{n}=\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{z}}}=\vektor{-2e^{-2}\\-2e^{-2}\\-1}\equiv\vektor{2\\2\\e^2}
[/mm]
und damit geht man in die normalvektorform
[mm] (\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hier meine Vorgehensweise:
>
> E:= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2e^{-2}}[/mm] + t* [mm]\vektor{-2e^{-2} \\ 0 \\ 1}[/mm]
> + s* [mm]\vektor{0 \\ -2e^{-2} \\ 1}[/mm]
>
> [mm]x=1+t*(-2e^{-2}[/mm] )
> [mm]y=1+s*(-2e^{-2}[/mm] )
> z=1-t-s
>
> [mm]z=2e^{-2}[/mm] + [mm]\bruch{x-1}{-2e^{-2} }[/mm] + [mm]\bruch{y-1}{-2e^{-2} }[/mm]
>
> [mm]-2e^{-2}*z-x-y=-4e^{4}-2[/mm]
Liegt hier in dieser Vorgehensweise irgendwo ein Fehler? Ich habe jetzt lange gesucht und überlegt, aber irgendwie finde ich nichts.
lg
Zuggel
An weduwe:
Für den Vektor:
[mm] \vec{n}=\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{z}}}=\vektor{-2e^{-2}\\-2e^{-2}\\-1}\equiv\vektor{2\\2\\e^2}
[/mm]
hast du die Funktion:
[mm] (x²+y²)e^{-x²-y²}-z=0 [/mm]
da f(x,y) = z
abgeleitet,oder?
Wo zauberst du denn die verschiedenen Therme im equivalenten Vektor hin? also im [mm] 2,2,e^2? [/mm] Da kann ich dir nicht ganz folgen..
Wie man auf die Normalform kommt, das ist jetzt wirklich interessant geswegen das zu sehen. Man muss im Gradient dann noch den Punkt einsetzen, in welchem man den Normalvektor haben will, oder (habs noch nicht nachgerechnet)?!
lg
Zuggel
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> > Hier meine Vorgehensweise:
> >
> > E:= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2e^{-2}}[/mm] + t* [mm]\vektor{-2e^{-2} \\ 0 \\ 1}[/mm]
> > + s* [mm]\vektor{0 \\ -2e^{-2} \\ 1}[/mm]
> >
> > [mm]x=1+t*(-2e^{-2}[/mm] )
> > [mm]y=1+s*(-2e^{-2}[/mm] )
> > z=1-t-s
Die z-Gleichung verstehe ich nicht...
Du verwendest sie ja auch gar nicht weiter:
> > [mm]z=2e^{-2}[/mm] + [mm]\bruch{x-1}{-2e^{-2} }[/mm] + [mm]\bruch{y-1}{-2e^{-2} }[/mm]
Das sieht gut aus.
> >
> > [mm]-2e^{-2}*z-x-y=-4e^{\red{-}4}-2[/mm]
Bisschen viel Umformungen auf einmal, vielleicht.
> Liegt hier in dieser Vorgehensweise irgendwo ein Fehler?
Scheint so...
Ich muss gerade zwischendurch weg, komme aber wieder.
Ciao,
rev
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Sorry für die Unterbrechung.
Deine Rechnung hat wohl nur den einen Fehler, kann aber trotzdem nicht zum richtigen Ergebnis führen: Deine Vektoren stimmen nicht, da habe ich vorhin zu flüchtig hingeschaut.
Pardon.
Richtig ist:
E:= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2e^{-2}}+t*\vektor{1 \\ 0 \\ -2e^{-2}}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ -2e^{-2}}
[/mm]
Die partiellen Ableitungen geben ja die Steigung in x- bzw. y-Richtung wieder und sozusagen, um wieviel sich die Funktion bei einer Veränderung von x bzw. y um 1 verändert.
Mit diesen Vektoren kommst Du auch auf das richtige Ergebnis.
Übrigens geht Dein Rechenweg nicht immer. Meistens ist es besser, direkt einen Normalenvektor über Kreuz- bzw. Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren zu ermitteln, und dann den einzig bekannten Punkt in die Gleichung einzusetzen, um so das absolute Glied zu bestimmen.
LG,
rev
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Sorry für die Unterbrechung.
>
> Deine Rechnung hat wohl nur den einen Fehler, kann aber
> trotzdem nicht zum richtigen Ergebnis führen: Deine
> Vektoren stimmen nicht, da habe ich vorhin zu flüchtig
> hingeschaut.
> Pardon.
>
> Richtig ist:
>
> E:= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2e^{-2}}+t*\vektor{1 \\ 0 \\ -2e^{-2}}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ -2e^{-2}}[/mm]
>
> Die partiellen Ableitungen geben ja die Steigung in x- bzw.
> y-Richtung wieder und sozusagen, um wieviel sich die
> Funktion bei einer Veränderung von x bzw. y um 1
> verändert.
>
> Mit diesen Vektoren kommst Du auch auf das richtige
> Ergebnis.
>
> Übrigens geht Dein Rechenweg nicht immer. Meistens ist es
> besser, direkt einen Normalenvektor über Kreuz- bzw.
> Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren zu ermitteln,
> und dann den einzig bekannten Punkt in die Gleichung
> einzusetzen, um so das absolute Glied zu bestimmen.
>
Da hast du wohl Recht! Den Normalvektor kann ich aber auch über den Gradienten berechen, oder? Ist das immer möglich?
Ich muss auch ab und an Weg, wir haben hier etwa 40cm Neuschnee
lg
Zuggel
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Der Weg über den Gradienten ist viel geschickter.
Ich wusste nicht, ob Ihr im Stoff schon so weit seid. Das hätte ich erst fragen sollen.
Letztlich übrigens leitest Du auf Deinem Weg aber nichts anderes her, die Ergebnisse müssen ja identisch sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Do 11.12.2008 | | Autor: | weduwe |
> > Hier meine Vorgehensweise:
> >
> > E:= [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2e^{-2}}[/mm] + t* [mm]\vektor{-2e^{-2} \\ 0 \\ 1}[/mm]
> > + s* [mm]\vektor{0 \\ -2e^{-2} \\ 1}[/mm]
> >
> > [mm]x=1+t*(-2e^{-2}[/mm] )
> > [mm]y=1+s*(-2e^{-2}[/mm] )
> > z=1-t-s
> >
> > [mm]z=2e^{-2}[/mm] + [mm]\bruch{x-1}{-2e^{-2} }[/mm] + [mm]\bruch{y-1}{-2e^{-2} }[/mm]
>
> >
> > [mm]-2e^{-2}*z-x-y=-4e^{4}-2[/mm]
>
> Liegt hier in dieser Vorgehensweise irgendwo ein Fehler?
> Ich habe jetzt lange gesucht und überlegt, aber irgendwie
> finde ich nichts.
>
> lg
> Zuggel
>
> An weduwe:
>
> Für den Vektor:
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\\\frac{\partial{f}}{\partial{z}}}=\vektor{-2e^{-2}\\-2e^{-2}\\-1}\equiv\vektor{2\\2\\e^2}[/mm]
>
> hast du die Funktion:
>
> [mm](x²+y²)e^{-x²-y²}-z=0[/mm]
>
> da f(x,y) = z
>
> abgeleitet,oder?
>
> Wo zauberst du denn die verschiedenen Therme im
> equivalenten Vektor hin? also im [mm]2,2,e^2?[/mm] Da kann ich dir
> nicht ganz folgen..
>
> Wie man auf die Normalform kommt, das ist jetzt wirklich
> interessant geswegen das zu sehen. Man muss im Gradient
> dann noch den Punkt einsetzen, in welchem man den
> Normalvektor haben will, oder (habs noch nicht
> nachgerechnet)?!
>
> lg
> Zuggel
>
nun stimmen ja alle vektoren, wie man am kreuzprodukt nachvollziehen kann
[mm] \vec{n}=\vektor{1\\0\\-2e^{-2}}\times\vektor{0\\1\\-2e^{-2}}\equiv\vektor{2e^{-2}\\2e^{-2}\\1}\cdot e^2=\vektor{2\\2\\e^2}
[/mm]
es kommt ja nur auf die richtung des vektors an nicht auf seine länge.
daher kann ich "zur verschönerung" und vereinfachung der weiteren rechnung mit einer skalaren größe multiplizieren.
wie schon gesagt, finde ich den weg über den gradienten viel einfacher.
die normalvektorform benutzt die tatsache, dass der normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] einer ebene E auf jeden vektor von E, also auch auf den von einem beliebigen punkt X von E nach dem festen (gegebenen) punkt P(1/1/f(x,y)) , repräsentiert durch [mm] (\vec{x}-\vec{p}), [/mm] senkrecht steht. daher ist das skalarprodukt [mm] (\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n} [/mm] = 0.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Do 11.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
Ich wollte mich noch bei allen hier bedanken!
Danke
lg
Zuggel
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