Tangente von P an Kugel < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Mi 30.11.2011 | | Autor: | MMK |
| Aufgabe | Gegeben:
Punkt R: (4/6/-4)
Kugel K: [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{-6 \\ -4 \\ 1 }^{2}=45
[/mm]
Legt man von R aus Tangenten an die Kugel, so bilden die Berührpunkte einen Kreis (Polarkreis). Die Ebene in der der Polarkreis liegt, bezeichnez man als Polarebene.
Bestimme den Polarkreismittelpunkt (p'), den Polarkreisradius (r') und eine Gleichung der Polarebene. |
ich schlag mich jez schon seit tagen mit der aufgabe rum und hab immer das gefühl das ich kurz davor bin den richtigen gedanken zu haben...
meine bisherige überlegung war den berürpunkt einer tangente über den satz des thales auszurechnen, aber die abstrhierung von zwei auf dreidimensional klappt nich so ganz bei mir :-(...
is das überhaupt der richtige weg oder muss ich mit was anderem anfangen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Mi 30.11.2011 | | Autor: | chrisno |
Ich habe keine Übung mit dieser Aufgabe, aber ich würde so rangehen:
Es gibt drei Strecken:
1. die Verbindung zwischen R und dem Kugelmittelpunkt, die ist bekannt,
2. die Verbindung zwischen R und einem Berührpunkt, da fehlt der Berührpunkt
3. der Radius von R zu dem Berührpunkt, da ist die Länge bekannt und diese Strecke muss senkrecht zur vorigen stehen.
Mit den Bedingungen sollte sich die Gleichung für den Berührkreis ergeben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mi 30.11.2011 | | Autor: | MMK |
das is ja soweit alles klaa, aber ich kenne keine methode mit der ich mit den mir gegebenen informationen rechnen kann. wie schon mal erwähnt, habe ich versucht mit dem thaliskreis weiterzukommen dessen mittelpunkt zwischen R und mittelpunkt der kugel liegt, aber der hat mir im endefekt auch nich weitergeholfen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Mi 30.11.2011 | | Autor: | chrisno |
Nenn den gesuchten Punkt [mm] $\vektor{x \\ y \\ z}$. [/mm] Rechne mit ihm los, indem Du die Strecken, in denen er vorkommt als Vektoren hinschreibst.
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Hallo MMK, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
In Deiner Aufgabenstellung ist ein Fehler:
> Gegeben:
> Punkt R: (4/6/-4)
>
> Kugel K: [mm]\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{-6 \\
-4 \\
1 }^{2}=45[/mm]
Das müsste doch heißen: [mm] \left(\vec{x}-\vektor{-6\\-4\\1}\right)^{2}=45
[/mm]
Der Formeleditor (bzw. eigentlich der Parser) funktioniert übrigens um Klassen besser, wenn Du möglichst wenig Leerzeichen in Deinen Eingabecode schreibst.
> Legt man von R aus Tangenten an die Kugel, so bilden die
> Berührpunkte einen Kreis (Polarkreis). Die Ebene in der
> der Polarkreis liegt, bezeichnez man als Polarebene.
> Bestimme den Polarkreismittelpunkt (p'), den
> Polarkreisradius (r') und eine Gleichung der Polarebene.
> ich schlag mich jez schon seit tagen mit der aufgabe rum
> und hab immer das gefühl das ich kurz davor bin den
> richtigen gedanken zu haben...
Das Gefühl kennt hier jeder. Gut beschrieben!
> meine bisherige überlegung war den berürpunkt einer
> tangente über den satz des thales auszurechnen, aber die
> abstrhierung von zwei auf dreidimensional klappt nich so
> ganz bei mir :-(...
> is das überhaupt der richtige weg oder muss ich mit was
> anderem anfangen?
Das ist schon gut, aber es würde hier wohl auch der gewöhnliche Pythagoras genügen, mathematisch gesehen ja nur ein Neffe des Thales. 
Nennen wir den Kugelmittelpunkt M. Aus der Aufgabe ist [mm] M=\vektor{-6\\-4\\1} [/mm] zu entnehmen. Der Kugelradius sei K, hier [mm] K=\wurzel{45}=3\wurzel{5}.
[/mm]
Weiter folgt geometrisch, dass der Normalenvektor der gesuchten Polarebene kollinear zu [mm] \overrightarrow{MR} [/mm] sein muss.
Eine beliebige Ebene, die nun die Punkte R und M enthält, enthält auch zwei Tangenten von R an die Kugel. Sei nun r der Radius des Polarkreises, s die Länge der Strecke von R zum Berührpunkt an die Kugel und d der Abstand von M und R, dann ist nach Pythagoras (und seinem Onkel Thales...) [mm] K^2+s^2=d^2. [/mm] In dieser Gleichung kommt also r gar nicht vor und wird folgerichtig für die Bestimmung der Ebene auch nicht benötigt.
Da K und d faktisch gegeben sind, ist s ja eindeutig zu ermitteln. Jetzt zeichne Dir mal die betrachtete Schnittebene und versuche, noch etwas zu (über und aus) r zu folgern. r ist die Höhe des gerade betrachteten rechtwinkligen Dreiecks mit den Seitenlängen K,s,d.
Hieraus kannst Du auch die Lage der Polarebene bzw. ihren Abstand von M oder R bestimmen.
Grüße
reverend
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