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Forum "Vektoren" - Tangenten

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Tangenten: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	14:42 Sa 30.10.2010
Autor:	Kuriger

Hallo

Nun noch eine letzte Frage zu diesem Thema, nämlich betreffend horizontaler und vertikaler Tangente, dann kann ich nämlich den Matheteil für heute auf die Seite legen...

Bestimmen Sie alle Winkel t, bei welchen der entsprechende Punkt auf der Kurve eine horizontale oder vertikale Tangente hat.
r = [mm] e^{2t} [/mm]
x(t) = [mm] e^{2t} [/mm] * cos(t)
y (t) = [mm] e^{2t} [/mm] * sin(t)

[mm] \vec{r}(t) [/mm] = [mm] \vektor{x(t) \\ y(t)} [/mm] = [mm] \vektor{e^{2t} * cos(t) \\ e^{2t} * sin(t)} [/mm]

[mm] \dot{\vec{r}}(t) [/mm] = [mm] \vektor{e^{2t} * (2*cos(t) -sin(t))\\ e^{2t} *(2sin(t) + cos(t))} [/mm]

Horizontale Tangente: Liegt doch dann vor wenn y(t) = 0 ist?
0 = [mm] e^{2t} [/mm] *(2sin(t) + cos(t))

Darf ich durch [mm] e^{2t} [/mm] dividieren?

2sin(t) = -cos(t)

[mm] \bruch{2sin(t)}{cos(t)} [/mm] = -1
2tan(t) = -1
tan(t) = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm]
t = arctan [mm] (-\bruch{1}{2}) [/mm]
t = -0.4636

Horizontale Tangente: Liegt doch dann vor wenn x(t) = 0 ist?
0 = [mm] e^{2t} [/mm] * (2*cos(t) -sin(t))
........

Auch hier finde ich wieder eine vorgefertigte Formel

Horizontale Tangente
[mm] \bruch{dy}{dt} [/mm] (t) = 0
[mm] \bruch{dy}{dt} [/mm] (t)= sin (t) * [mm] \bruch{dr}{dt} [/mm] (t) + r(t) * cos(t) = [mm] e^{2t} [/mm] *(2sin(t) + cos(t)) = 0
Das ist wieder das gleiche wie oben, also stimmt diese Formel...dann habe ich halt die Qual der Wahl

Gruss Kuriger

Bezug

Tangenten: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	14:58 Sa 30.10.2010
Autor:	Al-Chwarizmi

> Hallo
>
> Nun noch eine letzte Frage zu diesem Thema, nämlich
> betreffend horizontaler und vertikaler Tangente, dann kann
> ich nämlich den Matheteil für heute auf die Seite
> legen...
>
> Bestimmen Sie alle Winkel t, bei welchen der entsprechende
> Punkt auf der Kurve eine horizontale oder vertikale
> Tangente hat.
>  r = [mm]e^{2t}[/mm]
>  x(t) = [mm]e^{2t}[/mm] * cos(t)
>  y (t) = [mm]e^{2t}[/mm] * sin(t)
>
> [mm]\vec{r}(t)[/mm] = [mm]\vektor{x(t) \\ y(t)}[/mm] = [mm]\vektor{e^{2t} * cos(t) \\ e^{2t} * sin(t)}[/mm]
>
> [mm]\dot{\vec{r}}(t)[/mm] = [mm]\vektor{e^{2t} * (2*cos(t) -sin(t))\\ e^{2t} *(2sin(t) + cos(t))}[/mm]
>
> Horizontale Tangente: Liegt doch dann vor wenn y(t) = 0  ist?

Nein, du meinst (und solltest auch schreiben) [mm] \dot{y}(t)=0 [/mm]

> 0 = [mm]e^{2t}[/mm] *(2sin(t) + cos(t))

>
> Darf ich durch [mm]e^{2t}[/mm] dividieren?

    Ja, denn [mm] e^{2\,t} [/mm] kann für kein $t$ den Wert 0 annehmen.

> 2sin(t) = -cos(t)
>
> [mm]\bruch{2sin(t)}{cos(t)}[/mm] = -1
>  2tan(t) = -1
>  tan(t) = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
>  t = arctan [mm](-\bruch{1}{2})[/mm]
>  t = -0.4636

    ....und unendlich viele weitere Werte !

Vergiss nicht, die Koordinaten der betreffenden Kurvenpunkte
anzugeben !

> Horizontale Tangente: Liegt doch dann vor wenn x(t) = 0 ist?

    (wie oben)

>  0 = [mm]e^{2t}[/mm] * (2*cos(t) -sin(t))
>  ........
>
> Auch hier finde ich wieder eine vorgefertigte Formel
>
> Horizontale Tangente

Ich dachte, du wolltest jetzt noch die Punkte mit vertikalen
Tangenten suchen ?

>  [mm]\bruch{dy}{dt}[/mm] (t) = 0
>  [mm]\bruch{dy}{dt}[/mm] (t)= sin (t) * [mm]\bruch{dr}{dt}[/mm] (t) + r(t) *
> cos(t) = [mm]e^{2t}[/mm] *(2sin(t) + cos(t)) = 0
>  Das ist wieder das gleiche wie oben, also stimmt diese
> Formel...dann habe ich halt die Qual der Wahl