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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Di 19.02.2008 | | Autor: | RedWing |
Hallo,
ich hab noch eine letzte Frage bezüglich Tangenten und Kreise. Und zwar gibt es einen Punkt außerhalb des Kreises K.
P(7/-1), von K ist nur der Radius gegeben r=5.
Von P kann man zwei Tangenten an den Kreis legen. Nun ist die Frage, welche Berührpunkte die Tangenten besitzen. Wie ist denn der Ansatz, um diese Punkte zu berechnen? Habt ihr eine Idee?
Bin für jede Hilfe dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Di 19.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich würde dir spontan mal 2 Sachen vorschlagen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du machst dir einen Hilfskreis H, der durch Kreismittelpunkt und den gegebenen Punkt geht. Der Mittelpunkt des Halbkreises liegt genau auf der Hälfte der Strecke M_KP.
Die Schnittpunkte vom Hilfskreis und dem gegebenen kreis sind dann deine Berührpunkte der Tangenten, die grün eingezeichnet sind.
Basieren tut dieser Weg auf den Satz des Thales (beachte die rechtwinklige Dreiecke im Hilfskreis).
Der 2. Weg ist eher so der rein algebraische, du nimmst dir die Gleichung y=mx+n.
Wenn die gerae durch P(7|-1) gehen soll, kannst du den Punkt erstmal einsetzen.
-1=7m+n
n=-1-7m
[mm] \Rightarrow [/mm] y=mx-1-7m
Diese gerade kannst du in deine Kreisgleichung einsetzen und nach x auflösen, was dann irgendwann in einer p-q-Formel resultiert. Soll die gerade tangente sein, darf nur ene Lösung existieren, die Diskriminante muss also 0 werden. Damit erhälst du 2 ms für die Geraden und könntest diese dann theoretisch sogar aufstellen.
Willst du aber nur die Schnittstellen, musst du deine beiden ms wieder in die p-q-Formel einsetzen und du erhälst 2 xe.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Di 19.02.2008 | | Autor: | RedWing |
Hi,
danke für die beiden Lösungen. Leider verstehe ich aber nicht, wie man bei der ersten Lösung nun vorgehen soll, um die Tangenten oder Berührpunkte zu berechnen.
Bei zweitens verstehe ich nicht, wie man da auf eine Lösung kommen soll, ich bekomme, wenn ich die umgeformte tangentengleichung in eine allgemeine Kreisgleichung einsetze das raus:
[mm] (x-m1)^2+(y-m2)^2=r^2
[/mm]
=> [mm] (x-m1)^2+(mx-7m-1-m2)^2=r^2
[/mm]
Wie soll ich denn da weiterrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Di 19.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Bei der 1. Variante müsstest du nun 2 Kreise gleichsetzen!
Den Hilfkreis, den du erst aufstellen musst (hast du dazu Fragen?) und den gegebenen Kreis.
Die Schnittpunkte beider Kreise sind die gesuchten Berührpunkte!
Und bei Variante 2 müsstest du nun die binomischen Formel auflösen, umsortieren und dann hast du ja was mit x² und x und so zu stehen!
Und da du ja die Schnittstellen suchst, kannst du die Gleichung dann mit der p-q-Formel lösen und dabei beachten, dass es nur eine Schnittstelle zwischen Gerade und Kreis geben soll. Zwar kriegst du ja 2 ms raus, abe das sind dann die 2 Tangenten, die ja beide nur einen Punkt mit dem kreis gemeinsam haben!
Vom Rechenaufwand her ist Variante 1 sicher besser.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Di 19.02.2008 | | Autor: | RedWing |
Hi,
aber wie sind denn die Gleichungen der beiden Kreise bei Variante 1? Kannste mir mal die Gleichung sagen, was du da gleichsetzt?
Danke für deine Hilfe :)
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Hallo, die Kreisgleichung kannst du nicht aufstellen, du hast zwar den Radius gegeben, dir fehlt aber der Mittelpunkt. Lese mal bitte genau deine Aufgabe, dort sollte etwas zum Mittelpunkt stehen, meine Vermutung, M liegt im Koordinatenursprung
Kreisgleichung: [mm] (x-x_M)^{2}+(y-y_M)^{2}=r^{2}
[/mm]
wobei der Mittelpunkt der Punkt [mm] (x_M/y_M) [/mm] ist
Ist (0/0) der Mittelpunkt, würde auch ein schönes Ergebnis entstehen: [mm] P_1(4/3) [/mm] und [mm] P_2(3/-4)
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Di 19.02.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo,
> ich hab noch eine letzte Frage bezüglich Tangenten und
> Kreise. Und zwar gibt es einen Punkt außerhalb des Kreises
> K.
> P(7/-1), von K ist nur der Radius gegeben r=5.
>
> Von P kann man zwei Tangenten an den Kreis legen. Nun ist
> die Frage, welche Berührpunkte die Tangenten besitzen. Wie
> ist denn der Ansatz, um diese Punkte zu berechnen? Habt ihr
> eine Idee?
> Bin für jede Hilfe dankbar :)
wenn du von K nur r gegeben hast, würde ich stark vermuten, dass das zuwenig ist, um etwas zu berechnen, da brauchst du schon den mittelpunkt M(m/n) dazu.
und dann ist der einfachste weg der über die polare.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Di 19.02.2008 | | Autor: | RedWing |
Hm dann kann man mit einem Punkt und dem Radius des Kreises, die Tangenten nicht berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Di 19.02.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hm dann kann man mit einem Punkt und dem Radius des
> Kreises, die Tangenten nicht berechnen?
ja, bzw. nein, also: kann man nicht.
wenn du dir eine skizze machst, siehst du, der mittelpunkt kann ja "überall" sein.
also mußt du ihn kennen.
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