Tangenten an Kreis bestimmen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist ein Kreis mit der Kreisgleichung [mm](x-1)^2+(y+2)^2=25[/mm]. Gib die beiden Geradengleichungen zu den Tangenten an, die durch den Punkt [mm]P(-10|15)[/mm] verlaufen. |
Wie kann ich denn hierzu eine Geradengleichung finden?
Habe leider überhaupt keinen Plan, wie ich an die Aufgabe rangehen soll!
Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo headbanger,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wahrscheinlich gibt es eine elegantere Lösung als diese. Aber ein Ansatz als gar keiner, oder? 
Für die gesuchten Tangentengleichungen benötigen wir die beiden Berührpunkte [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$ [/mm] der Tangenten mit dem Kreis. Denn damit können wir anschließend mit der Zwei-Punkte-Form die Tangentengleichungen ermitteln:
[mm] $\bruch{y-y_P}{x-x_P} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y_B-y_P}{x_B-x_P}$
[/mm]
Zunächst bestimme Dir den Abstand $c_$ zwischen dem Punkt $P_$ und dem Kreismittelpunkt $M_$ :
[mm] $c^2 [/mm] \ = \ [mm] d^2(M;P) [/mm] \ = \ [mm] \left(x_P-x_M\right)^2+\left(y_P-y_M\right)^2$
[/mm]
Mit dem Radius $r_$ können wir nun den Abstand $b_$ zwischen den Berührpunkten und dem Punkt $P_$ ermitteln (Satz des Pythagoras), da es sich bei dem Dreieck [mm] $\Delta MPB_1$ [/mm] bzw. [mm] $\Delta MPB_2$ [/mm] jeweils um ein rechtwinkliges Dreieck handelt (warum?):
[mm] $b^2 [/mm] + [mm] r^2 [/mm] \ = \ [mm] c^2$
[/mm]
Nun können wir nun eine weitere Kreisgleichung um $P_$ mit dem Radius $b_$ aufstellen:
[mm] $\left(x-x_P\right)^2 [/mm] + [mm] \left(y-y_P\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] b^2$
[/mm]
Und nun "schneiden" wir die beiden Kreise: diese Schnittpunkte sind die beiden Berührpunkte der gesuchten Tangenten.
Kommst Du damit etwas weiter?
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:46 Mo 09.01.2006 | | Autor: | sefauchi |
Sei gegrüßt!
Du kennst den Mittelpunkt des Kreises, und Du kennst den Punkt, durch welchen die Tangente verlaufen soll. Hier der Ansatz:
1. Durch diese beiden Punkte verläuft eine Gerade g, diese ist Normale zum Punkt P (d. h. sie ist senkrecht zur Tangente). Ermittle den Anstieg "m" dieser Gerade,
2.ermittle die dazugehörige Senkrechte [= (-1/m)] und Du hast den Anstieg der Tangente. (PS: Die ganze Gleichung von g brauchst Du nicht)
3.Dann kannst Du mithilfe der Koordinaten von P die Tangentengleichung ermitteln.
Ich hoffe, der Ansatz ist verständlich.
Viel Erfolg!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo sefauchi,
!!
Dein Weg führt aber nicht zum Ziel, da die Berührpunkte von Tangente und Kreis nicht bekannt sind.
Schließlich liegt der Punkt $P_$ deutlich außerhalb des gegebenen Kreises (ansonsten könnte man auch nicht von zwei Tangenten reden).
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo headbanger,
> Gegeben ist ein Kreis mit der Kreisgleichung
> [mm](x-1)^2+(y+2)^2=25[/mm]. Gib die beiden Geradengleichungen zu
> den Tangenten an, die durch den Punkt [mm]P(-10|15)[/mm] verlaufen.
> Wie kann ich denn hierzu eine Geradengleichung finden?
> Habe leider überhaupt keinen Plan, wie ich an die Aufgabe
> rangehen soll!
Wenn Du den Satz des Thales kennst, geht es so:
Die beiden Berührpunkte liegen wegen [mm] $\angle MB_1 P=90°=\angle MB_2 [/mm] P$ auf dem Thaleskreis über der Strecke $MP$.
Wenn Du dessen Gleichung ermittelt hast, brauchst Du nur noch deren Schnittpunkt(e) mit der Kreisgleichung berechnen -- dies sind dann die gesuchten Berührpunkte.
Für den Mittelpunkt des Thaleskreises ist die Formel [mm] $M\left( \bruch{x_1+x_2}{2}; \bruch{y_1+y_2}{2}\right)$, [/mm] die den Mittelpunkt $M$ einer Strecke [mm] $\overline{AB}$ [/mm] mit den Endpunkten [mm] $A(x_1; y_1)$ [/mm] und [mm] $B(x_2; y_2)$ [/mm] berechnet, hilfreich; für den Radius $r$ des Thaleskreises die Abstandsformel [mm] $d(A,B)=\wurzel{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.
[/mm]
Eine andere Variante ist, eine allgemeine Geradengleichung, die durch den Punkt P verläuft, herzunehmen und mit der Kreisgleichung zu schneiden:
$t: y=m*x+b$
[mm] $P\in [/mm] t$ [mm] $\gdw$ [/mm] $15=m*(-10)+b$ [mm] $\gdw$ [/mm] $b=15+10m$
Die gesuchte Tangentengleichung ist also schon mal von der Form $t: y=m*x+15+10m$, das m ist weiterhin gesucht. Es läßt sich aber mit einem Schnittansatz zwischen Kreis und Geradengleichung t bestimmen (Einsetzen der Geradengleichung t in die Kreisgleichung).
Löse diese quadratische Gleichung nach x auf (z.B. mit p/q-Formel).
Zu erwarten ist unter der Wurzel ein Ausdruck, der noch die Variable m enthält, und zwar quadratisch.
Nun das Entscheidende: Da wir eine Tangente suchen, darf der Schnittansatz nur eine einzige Lösung haben (sonst wäre es eine Passante oder Sekante). Wir erhalten aber bei einer quadratischen Gleichung genau dann nur eine einzige Lösung, wenn der Term unter der Wurzel ("Diskriminante") Null ist.
Also musst Du im nächsten Schritt das m so bestimmen, dass die Diskriminante Null wird, also erneut eine quadratische Gleichung (diesmal in m) lösen.
So, nun hast Du mit Roadrunners Lösung drei Varianten zur Auswahl 
Viel Erfolg,
Marc
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