Tangenten an e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Fr 01.11.2019 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Punkte des Graphen der natürlichen Exponentialfunktion, in denen die Tangenten durch (1 / 1) verlaufen. |
Moin Moin,
hier blicke ich nicht durch, was da genau gefragt ist und wie man zur Lösung kommt.
1. Idee
Die natürliche Exponentialfunktion lautet
f(x) = [mm] e^x
[/mm]
oder nicht?
... und f '(x) = [mm] e^x
[/mm]
Die Tangentengleichungen, die hier gesucht werden (sind doch mehrere, oder?), haben die Form:
t(x) = m*x + b m = f '(x)
Nehmen wir an, die Tangente berührt f bei [mm] (x_0 [/mm] / [mm] e^{x_0}), [/mm] dann gilt
I. f ' [mm] (x_0) [/mm] = [mm] e^{x_0}
[/mm]
bzw. t(x) = f ' [mm] (x_0)*x [/mm] +b
II. t(1) = 1 bzw. 1 = f ' [mm] (x_0)*1 [/mm] + b
1 = [mm] e^{x_0} [/mm] + b
ferner
III. t(x) = f ' [mm] (x_0)*x [/mm] + b bzw. [mm] e^{x_0} [/mm] = [mm] e^{x_0}*x_0 [/mm] + b
Nun könnte ich noch II. b = 1 - [mm] e^{x_0} [/mm] in III. einsetzen...
[mm] e^{x_0} [/mm] = [mm] e^{x_0}*x_0 [/mm] +1 - [mm] e^{x_0}
[/mm]
... aber was bringt das? und wie komme ich zur Lösung???
Danke & Gruß!
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Hiho,
überlege dir, dass für die allgemeine Tangentengleichung einer Funktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] gilt:
$t(x) = [mm] f'(x_0)(x-x_0) [/mm] + [mm] f(x_0)$
[/mm]
Hier also:
$t(x) = [mm] e^{x_0}(x-x_0) [/mm] + [mm] e^{x_0} [/mm] = [mm] e^{x_0}(x-x_0 [/mm] + 1)$
Gesucht sind nun also all diejnigen [mm] x_0 [/mm] für die $t(1) = 1$, also [mm] $e^{x_0}(2 [/mm] - [mm] x_0) [/mm] = 1$
Das ergibt zwei nicht-triviale Lösungen…
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Sa 02.11.2019 | | Autor: | hase-hh |
Moin Gono,
vielen Dank für die Antwort.
$ [mm] e^{x_0} [/mm] $ = $ [mm] e^{x_0}\cdot{}x_0 [/mm] $ +1 - $ [mm] e^{x_0} [/mm] $
> Hiho,
>
> überlege dir, dass für die allgemeine Tangentengleichung
> einer Funktion an der Stelle [mm]x_0[/mm] gilt:
>
> [mm]t(x) = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)[/mm]
>
> Hier also:
>
> [mm]t(x) = e^{x_0}(x-x_0) + e^{x_0} = e^{x_0}(x-x_0 + 1)[/mm]
>
> Gesucht sind nun also all diejnigen [mm]x_0[/mm] für die [mm]t(1) = 1[/mm],
> also [mm]e^{x_0}(2 - x_0) = 1[/mm]
>
> Das ergibt zwei nicht-triviale Lösungen…
>
> Gruß,
> Gono
Ich war bis zu dieser Stelle gekommen:
[mm] e^{x_0} [/mm] = [mm] e^{x_0}\cdot{}x_0 [/mm] +1 - [mm] e^{x_0}
[/mm]
... also weiter umformen...
[mm] 2e^{x_0} [/mm] = [mm] e^{x_0}\cdot{}x_0 [/mm] +1
[mm] 2e^{x_0} [/mm] - [mm] e^{x_0}\cdot{}x_0 [/mm] = 1
[mm] e^{x_0}*(2- x_0) [/mm] = 1
Aber wie soll ich das jetzt lösen? Das Problem ist doch, dass [mm] x_0 [/mm] sowohl im Exponenten alsauch auf dem "Boden" vorkommt???
Mein Taschenrechner liefert zwar
[mm] x_{01} [/mm] = -1,146
[mm] x_{02} [/mm] = 1,841
aber wie kommt man schriftlich zur Lösung???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Sa 02.11.2019 | | Autor: | fred97 |
> Moin Gono,
>
> vielen Dank für die Antwort.
>
>
> [mm]e^{x_0}[/mm] = [mm]e^{x_0}\cdot{}x_0[/mm] +1 - [mm]e^{x_0}[/mm]
>
> > Hiho,
> >
> > überlege dir, dass für die allgemeine Tangentengleichung
> > einer Funktion an der Stelle [mm]x_0[/mm] gilt:
> >
> > [mm]t(x) = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)[/mm]
> >
> > Hier also:
> >
> > [mm]t(x) = e^{x_0}(x-x_0) + e^{x_0} = e^{x_0}(x-x_0 + 1)[/mm]
> >
> > Gesucht sind nun also all diejnigen [mm]x_0[/mm] für die [mm]t(1) = 1[/mm],
> > also [mm]e^{x_0}(2 - x_0) = 1[/mm]
> >
> > Das ergibt zwei nicht-triviale Lösungen…
> >
> > Gruß,
> > Gono
>
> Ich war bis zu dieser Stelle gekommen:
>
> [mm]e^{x_0}[/mm] = [mm]e^{x_0}\cdot{}x_0[/mm] +1 - [mm]e^{x_0}[/mm]
>
>
> ... also weiter umformen...
>
> [mm]2e^{x_0}[/mm] = [mm]e^{x_0}\cdot{}x_0[/mm] +1
>
> [mm]2e^{x_0}[/mm] - [mm]e^{x_0}\cdot{}x_0[/mm] = 1
>
> [mm]e^{x_0}*(2- x_0)[/mm] = 1
>
>
> Aber wie soll ich das jetzt lösen? Das Problem ist doch,
> dass [mm]x_0[/mm] sowohl im Exponenten alsauch auf dem "Boden"
> vorkommt???
>
>
> Mein Taschenrechner liefert zwar
>
> [mm]x_{01}[/mm] = -1,146
> [mm]x_{02}[/mm] = 1,841
>
> aber wie kommt man schriftlich zur Lösung???
Obige Gleichung lässt sich nicht von Hand auflösen, man benötigt schon ein numerisches Verfahren. Dein Taschenrechner kann sowas offenbar.
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