Tangenten an reguläre Fläche < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:31 Di 03.10.2006 | | Autor: | peder |
| Aufgabe | Es sei w ein Tangentenvektor an eine reguläre Fläche S in einem Punkt p [mm] \in [/mm] S und x(u,v), y(r,s) seien zwei Parametrisierungen bei p. Nimm an, die Darstellung von w in den zu x(u,v) und y(r,s) assoziierten Basen sind
w = [mm] \alpha_{1} x_{u} [/mm] + [mm] \alpha_{2} x_{v}
[/mm]
und
w = [mm] \beta_{1} y_{r} [/mm] + [mm] \beta_{2} y_{s} [/mm] .
Zeige, dass die Koordinaten von w durch folgende Beziehung miteinander verknüpft sind
[mm] \beta_{1} [/mm] = [mm] \alpha_{1} \bruch{\partial r}{\partial u} [/mm] + [mm] \alpha_{2} \bruch{\partial r}{\partial v}
[/mm]
[mm] \beta_{2} [/mm] = [mm] \alpha_{1} \bruch{\partial s}{\partial u} [/mm] + [mm] \alpha_{2} \bruch{\partial s}{\partial v}
[/mm]
wobei r = r(u,v) und s = s(u,v) die Darstellung der Koordinatenwechsel sind. |
Also kurz zur Ergänzung x(u,v) und y(s,r) sind zwei Karten von S um den Punkt p und folglich (per Def.) Diffeomorphismen (d.h. bijektiv, f und [mm] f^{-1}). x_{u} [/mm] und [mm] x_{v} [/mm] sind die partiellen Ableitungen von x(u,v) und stellen eine Basis des zu gehörigen Tangentialraums, wodurch jeder Tangentenvektor dieses Tangentialraums (so auch w) durch diese dargestellt werden kann (entsprechend für y).
Zu meinen Versuchen: Also ich habe als erstes mal versucht die beiden Darstellungen von w gleichzusetzen und dann nach [mm] \beta_{1} [/mm] versucht aufzulösen... aber so funktioniert´s nicht. Hab mir wirklich den Kopf zerbrochen, wie man diese Beziehung zeigen könnte, aber irgendwie steh ich auf dem Schlauch und seh es nicht. Also falls mir da jemand helfen kann , wäre ich wirklich dankbar!
Falls es noch Fragen bezüglich der Thematik der reg. Flächen gibt, will ich gerne versuchen die zu klären.
Hoffe jemand kann mir helfen.
Gruß,
Michi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 05.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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