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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:53 So 14.01.2007 | | Autor: | Shirafl |
| Aufgabe | | Berechnen sie die Gerade, die sowohl eine Tangente ist an [mm] y1=2-(x-2)^2 [/mm] als auch an [mm] y2=1-(x+1)^2. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Kann jemand helfen?
Habe er4stmal die beiden Ableitungen gebildet:
y1´=-2x+4 y2´=-2x-2 (mit unterschiedlichen x, nenne also eins z)
Dann habe ich sie gleichgesetzt. Damit erhalte ich aber ALLE Tangenten mit gleicher Steigung und nicht nur die eine die beide berührt.
Also -2x+4=-2z-2
x=3+z
Wie mache ich weiter? Oder was wäre ein besserer Ansatz?
Bitte helft mir!
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Hallo Shirafl!
> Berechnen sie die Gerade, die sowohl eine Tangente ist an
> [mm]y1=2-(x-2)^2[/mm] als auch an [mm]y2=1-(x+1)^2.[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Kann jemand helfen?
> Habe er4stmal die beiden Ableitungen gebildet:
>
> y1´=-2x+4 y2´=-2x-2 (mit unterschiedlichen x, nenne also
> eins z)
>
> Dann habe ich sie gleichgesetzt. Damit erhalte ich aber
> ALLE Tangenten mit gleicher Steigung und nicht nur die eine
> die beide berührt.
>
> Also -2x+4=-2z-2
> x=3+z
>
> Wie mache ich weiter? Oder was wäre ein besserer Ansatz?
>
> Bitte helft mir!
Dein Ansatz ist schon ganz gut. Problem ist wirklich, daß du (bisher) unendlich viele Tangenten erhälst, die bei beiden Funktionen den gleichen Anstieg haben. Es gilt also eine weitere Bedingung für die gesuchte Tangente zu finden. Wie wäre es mit folgender:
Die gesuchte Tangente berührt [mm] y_{1} [/mm] im Punkt [mm] P_{1}(x; y_{1}(x)) [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] im Punkt [mm] P_{2}(z; y_{2}(z)). [/mm] Der Anstieg m einer Gerade durch [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{2} [/mm] muss gleich dem Anstieg von [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] sein. Den Anstieg m ermittelt man hierbei mit: [mm] m=\bruch{y_{2}(z)-y_{1}(x)}{z-x}
[/mm]
Mit deinem bisherigen Ergebnis x=3+z kann man folgern, daß z-x=-3 sein muss.
Soweit meine Idee. Vielleicht kann man in dieser Richtung weiter arbeiten.
Gruß,
Tommy
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 So 14.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Berechnen sie die Gerade, die sowohl eine Tangente ist an
> [mm]y1=2-(x-2)^2[/mm] als auch an [mm]y2=1-(x+1)^2.[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Kann jemand helfen?
> Habe er4stmal die beiden Ableitungen gebildet:
>
> y1´=-2x+4 y2´=-2x-2 (mit unterschiedlichen x, nenne also
> eins z)
>
> Dann habe ich sie gleichgesetzt. Damit erhalte ich aber
> ALLE Tangenten mit gleicher Steigung und nicht nur die eine
> die beide berührt.
>
> Also -2x+4=-2z-2
> x=3+z
>
> Wie mache ich weiter? Oder was wäre ein besserer Ansatz?
>
> Bitte helft mir!
du hast die geradengleichung
g: y = mx + n
schneiden mit [mm] f_1(x)=2-(x-2)²
[/mm]
ergibt:
x²+x(m-4)+2+n=0
[mm] x_{1,2}=\frac{4-m}{2}\pm\sqrt{\frac{(4-m)^{2}}{4}-2-n}
[/mm]
und da die gerade tangente ist, gilt:
[mm] \sqrt{\frac{(4-m)^{2}}{4}-2-n}=0
[/mm]
eine analoge gleichung bekommst du für [mm] f_2(x).
[/mm]
damit hast du 2 gleichungen für m und n.
wenn alles stimmt, sollte [mm] m=\frac{1}{3} [/mm] herauskommen.
und daraus kannst du auch die koordinaten der berührungspunkte berechnen (x-koordinaten): [mm] x_1=-\frac{7}{6} [/mm] und [mm] x_2=\frac{11}{6}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 So 14.01.2007 | | Autor: | Shirafl |
DANKE!
Es hat geklappt und es war ja so einfach dank deiner Hilfe!
Wäre nie drauf gekommen, das ohne die Ableitungen zu machen!
Ganz fetter Knutscha!
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