Tangentengleichung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabenstellung
Gegeben ist die Funktion f durch
$ f (x)= [mm] \bruch{1}{12}(x^3 [/mm] - 12 [mm] x^2+36 [/mm] x), x [mm] \in \IR. [/mm] $
a) Untersuchen Sie den Graphen von f auf gemeinsame Punkte mit der x-Achse, Hoch- Tief- und
Wendepunkte.
Zeichnen Sie den Graphen von f für −1≤x≤7.
b) Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch den Hochpunkt (2| [mm] \bruch{8}{3}) [/mm] bilden mit den Koordinatenachsen
ein Rechteck.
In welchem Verhältnis teilt der Graph von f die Rechteckfläche?
c) An den Graphen von f wird im Punkt P (u | f(u)) mit 2 < u < 6 die Tangente tp gelegt. Diese Tangente
schneidet die y-Achse im Punkt Q. Der Ursprung O bildet mit den Punkten P und Q ein Dreieck.
Für welchen Wert von u wird der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal? |
Ich übe grade mit meiner Freundin für ihre Abiturklausur im Grundkurs und komme bei Aufgabenteil c) nicht weiter.
Lösungen von a):
Nullstellen: (0|0) ; (6|0)
Hochpunkt: [mm] (2|2\bruch{2}{3})
[/mm]
Tiefpunkt: (6|0)
Wdp: [mm] (4|1\bruch{1}{3})
[/mm]
Lösung b):
Gesamtfläche: [mm] 5\bruch{1}{3}
[/mm]
A unterm Graph von f: [mm] 3\bruch{2}{3}
[/mm]
Verhältnis: [mm] \bruch{11}{5}
[/mm]
In der Lösung steht, dass die Tangentengleichung wie folgt lautet:
t(x) = f(u)+f′(u) [mm] \cdot [/mm] (x-u)
mein Ansatz war t(x) = mx+b wobei m = f'(u) und b = t(0)
dann kam ich aber nicht weiter 
Hier noch eine Skizze zu c)
[Dateianhang nicht öffentlich]
MfG
Daniel
PS:
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt :-P
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo Daniel,
dann versuchen wir es doch mal mit der Tangente. Da sie die Kurve im Punkt $P$ berührt, wissen wir genau
zwei Dinge:
(1) $t(u)=f(u) [mm] \to mu+b=\bruch{1}{12}(u^3 [/mm] - 12 [mm] u^2+36 [/mm] u)$
(2) $t'(u)=f'u) [mm] \to m=0,25u^2-2u+3$
[/mm]
Jetzt (2) in (1):
[mm] $(0,25u^2-2u+3)*u+b=\bruch{1}{12}(u^3 [/mm] - 12 [mm] u^2+36 [/mm] u)$
[mm] $b=u^2-\frac{1}{6}u^3$
[/mm]
[mm] $\to t(x)=(0,25u^2-2u+3)*x+u^2-\frac{1}{6}u^3$
[/mm]
Ist schon was später, darum möchte ich dich bitten, den Rechenweg kurz nachzurechnen.
Ich hoffe, dass ich euch helfen konnte.
Gruß
Nicolas
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Dein Lösungsansatz ist für uns nachvollziehbar, schonmal vielen Dank.
Es wäre schön, wenn jemand noch den Ansatz aus der Lösung erläutern könnte.
Danke
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo Daniel,
wenn ich dich richtig verstehe, geht es dir nun um die Berechnung der Fläche des Dreiecks.
Wenn du deine Skizze betrachtest, erkennst du ja das Dreieck und kannst es mit der Formel
[mm] $A=\frac{1}{2}gh$ [/mm] berechnen, als Grundseite würde ich die Seite verwenden, die auf der
$y$-Achse liegt verwenden, die länge entspricht folglich dem Funktionswert des Punktes $Q$.
Die Länge der Höhe entspricht der $x$-Koordinate im Punkt $P$.
Gruß
Nicolas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Sa 11.03.2006 | | Autor: | hase-hh |
Zu deiner Frage.
t(x) = f(u) + f'(u) * (x-u)
ist ein etwas kryptischer Ausdruck für
den Zusammenhang, dass
an der Stelle u die Tangente den Wert f(u) hat; d.h. wenn man x=u setzt
erhält man für t = f(u)
wenn du einfach mit der in deiner Lösung gebenen t-Gleichung
rechnest, d.h.
t(x) = f(u) + f'(u)*x - f'(u) *u
erhältst du t(x) = f'(u)*x + b !
Dann soll ja noch die Fläche des Dreiecks 0QP maximiert werden.
Zielfunktion: A = 1/2 g*h.
h = u
g = [mm] \overline{0Q} [/mm] bzw. g = b
A (u) = 1/2 * ( [mm] u^{2} [/mm] - 1/6 * [mm] u^{3} [/mm] ) * u
Diese hat bei u= 9 /2 eine waagerechte Tangente.
und auch ein Maximum
A (9/2) = 729/64 = 11,39 FE.
Viel Glück bei der Abiklausur!
wolfgang
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