Tangentengleichung aus < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei f:x-> [mm] e^{-x} [/mm] ; x [mm] \in \IR_{0}^{+}
[/mm]
a) Stellen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f für eine beliebige Stelle x=u auf. |
Hallo,
[mm] e^{-x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^{x} } [/mm] und
[mm] \bruch{1}{e^{x} } [/mm] (Vielleich noch Ableitungen davon bilden, aber was ist die Ableitung von [mm] e^{-x} [/mm] ode auch [mm] \bruch{1}{e^{x} } [/mm] ? )
[mm] \bruch{1}{e^{x} }=m*u+b
[/mm]
gut bis hier hin, aber ich habe keinen Plan, Ahnung wie es weiter geht....
Grüße
masaat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Für die Ableitung von $f(x) \ = \ [mm] e^{-x}$ [/mm] müssen wir zum einen die Ableitung der "normalen e-Funktion" kennen mit [mm] $\left( \ e^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^x$ [/mm] .
In unserem Falle müssen wir noch die  Kettenregel verwenden, da hier etwas anderes als $x_$ im Exponenten steht:
$f'(x) \ = \ [mm] e^{\red{-x}}*(\red{-x})' [/mm] \ = \ [mm] e^{-x}*(-1) [/mm] \ = \ [mm] -e^{-x}$
[/mm]
Für die Tangente im Punkt $P \ [mm] \left( \ u \ \left| \ f(u) \ \right) \ = \ \left( \ u \ \left| \ e^{-u} \ \right)$ verwenden wir die Punkt-Steigungs-Form für Geraden:
$m \ = \ \bruch{y-y_1}{x-x_1}$
Für unsere Aufgabe beträgt die Steigung nun der Steigung der Kurven, sprich der 1. Ableitung der genannten Funktion:
$m \ = \ f'(u) \ = \ -e^{-u}$
Zudem kennen wir ja den genannten Punkt $P_$ :
$x_1 \ = \ u$ sowie $y_1 \ = \ e^{-u}$
Einsetzen liefert dann: $-e^{-u} \ = \ \bruch{y-e^{-u}}{x-u}$
Nun umstellen nach $y \ = \ ...$
Gruß
Loddar
[/mm]
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Hallo,
1. Ist die erste Ableitung jetzt [mm] -e^{x} [/mm] oder [mm] -e^{ [red] -x [/red] } [/mm] (hoch minus x ?)?
+ Also diese erste Ableitung durch Kettenregel ermittelt ?
2.Umstellen dann wäre
[mm] y-e^{-u}=-e^{-u}*x-u [/mm] =
[mm] y=-e^{-u}*x-u+e^{-u} [/mm] =
y=x-u , richtig so ?
Grüße
masaat
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Sa 29.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
für die Erlösung...
Grüße
masaat
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Hallo,
y- [mm] e^{-u}=- e^{-u}*x+u*e^{-u} [/mm] = / + [mm] e^{-u}
[/mm]
y=- [mm] e^{-u}*x+u*e^{-u}+ [red]e^{-u}[/red] [/mm] ????
Oder heb ich da was durcheinander gebracht ?
Grüße
masaat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Alles richtig so ... wenn man nun noch möchte, kann man den Term [mm] $e^{-u} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^u}$ [/mm] ausklammern:
$y \ = \ [mm] e^{-u}*(-x+u+1) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x+u+1}{e^u}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Genau!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du musst auch den 2. Term auf der rechten Seite mit [mm] $e^{-u}$ [/mm] multiplizieren:
