Tangentengleichung bei e < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | gegeben ist [mm] f(x)=e^{0.5x}
[/mm]
Vom Ursprung aus wird eine Tangente an den Graphen von f gelegt. Bestimme den Berührpunkt und die Tangentengleichung. |
Wie muss ich denn da herangehen? Wir haben das im Unterricht noch nicht besprochen und ich weiß mit der Aufgabe nichts anzufangen. Wäre lieb wenn mir da jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo cadesjoop!
Die allgemeine Geradengleichung lautet: $g(x) \ = \ m*x+n$
Da die gesuchte Gerade durch den Ursprung verlaufen soll, verbleibt:
$g(x) \ = \ m*x$ (da ja gilt: $g(0) \ = \ m*0+n \ = \ n \ = \ 0$ )
Damit diese Gerade nun auch Tangente der Kurve ist, muss am Berührpunkt $B \ [mm] \left( \ x_b \ | \ y_b \ \right)$ [/mm] gelten (gleiche Steigung):
$m \ = \ [mm] f'(x_b) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*e^{\bruch{1}{2}*x_b}$
[/mm]
Ebenso müssen an der Berührstelle [mm] $x_b$ [/mm] die Funktionswerte übereinstimmen:
[mm] $m*x_b [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{1}{2}*x_b}$
[/mm]
Durch einsetzen von $m_$ in diese Gleichung kannst Du nun [mm] $x_b$ [/mm] ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:46 So 19.03.2006 | | Autor: | cadesjoop |
Danke für die schnelle Hilfe. Ich habe gestern noch daran herumgerechnet und so auch dank der Tipps die Tangentengleichung herausbekommen. Aber mit dem Berührpunkt tue ich mich noch schwer. Und zwar habe ich m in [mm] m*x_b=e^{0.5x_b} [/mm] eingesetzt, dann mit ln multipliziert:
ln0.5*0.5x*ln xb= 0.5*xb
jetzt hab ich ja aber auf beiden seiten xb udn ich kann doch kein xb mit einem ln xb zusammenbringen.. zum Schluss kam bei mir dann folgendes raus: 2*ln 0.5*x= xb/ln xb
Meine Frage also: wie komme ich von xb/ln xb auf xb?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 So 19.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo cadesjoop!
Ich bin etwas erstaunt: ohne den Berührpunkt kannst Du doch gar nicht die Tangentengleichung ermitteln! ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Kannst Du bitte mal Deinen Rechenweg für die Tangentengleichung posten? (Und bitte verwende doch auch unseren Formeleditor).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 So 19.03.2006 | | Autor: | cadesjoop |
Ich glaube, dass ich mir das dann wohl zu einfach gemacht habe 
ich dachte es reicht, wenn ich in die allg. Geradengleichung m einsetze. weil m doch an dem Berührpunkt gleich der Tangentensteigung ist. Also bin ich dann zu der Gleichung gekommen:
[mm] g(x)=\bruch{1}{2} \cdot [/mm] e^(1/2x) [mm] \cdot [/mm] x
Aber das mit dem Berührpunkt ist mir wie gesagt irgendwie noch nciht klar geworden.
(ich übe mit diesem Editor, aber noch wills nicht gelingen**)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 So 19.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo cadesjoop!
Siehe doch mal meine Antwort oben. Da hatten wir doch:
$m \ = \ [mm] f'(x_b) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*e^{\bruch{1}{2}*x_b}$
[/mm]
[mm] $m*x_b [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{1}{2}*x_b}$
[/mm]
Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite liefert:
[mm] $\bruch{1}{2}*e^{\bruch{1}{2}*x_b}*x_b [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{1}{2}*x_b}$
[/mm]
Und nun nach [mm] $x_b$ [/mm] auflösen ...
Gruß
Loddar
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Oh ups, ich hab da den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. Danke nochmal. Hab also jetzt nach [mm] x_{b} [/mm] aufgelöst---> [mm] x_{b}=2
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] x_{b} [/mm] und m in g(x)=m [mm] \cdot [/mm] x einsetze dann bekomme ich doch y heraus? Also in diesem Fall y=e udn damit B(2;e).. und wenn ich diesen punkt wiederum einsetze in g(x) erhalte ich die Tangentengleichung? Nur zur Absicherung..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 So 19.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo cadesjoop!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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