Tangentengleichung bestimmen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Fr 09.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve $C: y=arctan(3x)$ im Punkt [mm] $P=(\frac{1}{\sqrt3} [/mm] , [mm] b)\in [/mm] C$. |
Hallo allerseits!
Bräuchte bitte Hilfe bei diesem Bsp.
Also ich hab immer gedacht, dass ich es ganz normal ausrechnen kann.
Einfach $b$ ausrechnen durch einsetzen von [mm] $\frac{1}{\sqrt3}$ [/mm] in die Formel.
Dann die erste Ableitung bilden, die Steigung bestimmen und den y-Achsenabschnitt und fertig.
Jetzt habe ich aber diese Formel im dazugehörigen Formelheft gesehen.
Tangente T an die Kurve $y=f(x)$ im Punkt $P=(a,b)$:
$T:y-b=f'(a)*(x-a)$.
Genau das verwirrt mich jetzt, was mache ich mit dieser Formel?
Ist nicht a=x und b=y?? Oder irre ich mich?
Eine Frage zu diesem Bsp., aber nicht die gleiche, hab ich schon hier gestellt(http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=505136&hilightuser=22653).
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Hallo bobiiii,
> Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve [mm]C: y=arctan(3x)[/mm]
> im Punkt [mm]P=(\frac{1}{\sqrt3} , b)\in C[/mm].
> Hallo allerseits!
>
> Bräuchte bitte Hilfe bei diesem Bsp.
>
> Also ich hab immer gedacht, dass ich es ganz normal
> ausrechnen kann.
> Einfach [mm]b[/mm] ausrechnen durch einsetzen von [mm]\frac{1}{\sqrt3}[/mm]
> in die Formel.
> Dann die erste Ableitung bilden, die Steigung bestimmen und
> den y-Achsenabschnitt und fertig.
>
>
> Jetzt habe ich aber diese Formel im dazugehörigen
> Formelheft gesehen.
>
> Tangente T an die Kurve [mm]y=f(x)[/mm] im Punkt [mm]P=(a,b)[/mm]:
> [mm]T:y-b=f'(a)*(x-a)[/mm].
>
>
> Genau das verwirrt mich jetzt, was mache ich mit dieser
> Formel?
> Ist nicht a=x und b=y?? Oder irre ich mich?
>
Konkret ist [mm]a=\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm] und [mm]b=f\left(a\right)[/mm]
> Eine Frage zu diesem Bsp., aber nicht die gleiche, hab ich
> schon hier
> gestellt(http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=505136&hilightuser=22653).
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Fr 09.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
Also kann ich b durch einsetzen in die Formel ausrechen?
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Hallo bobiiii,
> Also kann ich b durch einsetzen in die Formel ausrechen?
Wenn Du mit Formel die Funktionsgleichung meinst, ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Fr 09.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
Aber was mache ich mit dieser Gleichung: $ [mm] T:y-b=f'(a)\cdot{}(x-a) [/mm] $?
Das soll doch die Tangentengleichung sein, oder?
Was soll aber dieses $x-a$ und dieses $y-b$? Wo ist hier das k und das d?
Ich hab gedacht, dass die Tangentengleichung $y=k*x+d$ ist?
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Hallo bobiiii,
> Aber was mache ich mit dieser Gleichung:
> [mm]T:y-b=f'(a)\cdot{}(x-a) [/mm]?
> Das soll doch die
> Tangentengleichung sein, oder?
> Was soll aber dieses [mm]x-a[/mm] und dieses [mm]y-b[/mm]? Wo ist hier das k
> und das d?
>
> Ich hab gedacht, dass die Tangentengleichung [mm]y=k*x+d[/mm] ist?
Das ist die übliche Form einer Geradengleichung.
Wenn Du T auf diese Form bringst, dann kannst Du den
Faktor vor dem x als k und den Faktor ohne das x als d definieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Fr 09.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
> Das ist die übliche Form einer Geradengleichung.
Also kann ich auch $y=k*x+d$ verwenden?
> Wenn Du T auf diese Form bringst, dann kannst Du den
> Faktor vor dem x als k und den Faktor ohne das x als d
> definieren.
Das verstehe ich leider nicht? $ [mm] T:y-b=f'(a)\cdot{}(x-a) [/mm] $ Ist also f'(a) das k, aber was ist d?
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Hallo bobiiii,
> > Das ist die übliche Form einer Geradengleichung.
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> Also kann ich auch [mm]y=k*x+d[/mm] verwenden?
Ja, klar.
> > Wenn Du T auf diese Form bringst, dann kannst Du den
> > Faktor vor dem x als k und den Faktor ohne das x als d
> > definieren.
>
> Das verstehe ich leider nicht? [mm]T:y-b=f'(a)\cdot{}(x-a)[/mm] Ist
> also f'(a) das k, aber was ist d?
Was ist denn eine Tangente? Eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Am Berührpunkt muss nicht nur die Steigung gleich sein, sondern auch der Funktionswert. Sowohl die Kurve als auch die Tangente gehen ja durch den gemeinsamen Punkt.
So musst Du also d wählen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Fr 09.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
> > Also kann ich auch [mm]y=k*x+d[/mm] verwenden?
>
> Ja, klar.
Um dieses Bsp. zu lösen brauch ich also diese Gleichung $ [mm] T:y-b=f'(a)\cdot{}(x-a) [/mm] $ nicht mal?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Fr 09.11.2012 | | Autor: | abakus |
> > > Also kann ich auch [mm]y=k*x+d[/mm] verwenden?
> >
> > Ja, klar.
>
> Um dieses Bsp. zu lösen brauch ich also diese Gleichung
> [mm]T:y-b=f'(a)\cdot{}(x-a)[/mm] nicht mal?
>
Ja es geht auch ohne diese Gleichung.
Berechne den Funktionswert an der gegebenen Stelle, dann hast du den Punkt, durch den die Tangente gehen soll.
Berechne die Ableitung an dieser Stelle, dann hast du den Anstieg der Tangente.
Stelle dann (wie auch immer) die Gleichung der Geraden auf, die durch den Punkt geht und den berechneten Anstieg hat.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Fr 09.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
Verstehe! Danke!
Nur noch eine Frage zu dieser Gleichung $ [mm] T:y-b=f'(a)\cdot{}(x-a) [/mm] $
Es will mir einfach nicht in den Kopf was jetzt dieses $(x-a)$ und $y-b$ bedeutet und darstellt?
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Hallo nochmal,
oops, da bin ich auf Senden gekommen...
Die Gleichung ist ganz einfach zu verstehen und herzuleiten.
$T:\ y-b=f'(a)*(x-a)$
Da wird einfach eine Koordinatentransformation vorgenommen und sozusagen der Nullpunkt des neuen Koordinatensystems genau in den Berührpunkt gelegt. Damit haben wir im neuen System eine Ursprungsgerade.
Die hat dann einfach die Gleichung [mm] \hat{y}=m*\hat{x}, [/mm] wobei m natürlich gerade die Steigung der Tangente ist, also die Ableitung an der Stelle.
Ach, und man muss sich natürlich noch überlegen, wie die Verschiebung eigentlich geht. Für das neue [mm] \hat{y} [/mm] gilt:
[mm] \hat{y}=y-b [/mm] oder ohne neuen Parameter b: [mm] \hat{y}=y-f(a).
[/mm]
Das neue [mm] \hat{x} [/mm] muss an der betrachteten Stelle a ja gerade Null sein, also [mm] \hat{x}=x-a.
[/mm]
Und so wird dann aus [mm] \hat{y}=f'(a)*\hat{x}\quad\Rightarrow
[/mm]
$y-b=f'(a)*(x-a)$
- wobei ich die Schreibweise $y-f(a)=f'(a)*(x-a)$ besser und verständlicher finde.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Fr 09.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
Ahhh, endlich ist es in meinen Schädel reingegangen! Danke für die Erklärung!
> - wobei ich die Schreibweise [mm]y-f(a)=f'(a)*(x-a)[/mm] besser und
> verständlicher finde.
Da stimme ich zu!
Nur noch eine allerletzte Frage. Was für Werte nimmt man dann bei x und y?
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Hallo bobiiii,
> Ahhh, endlich ist es in meinen Schädel reingegangen! Danke
> für die Erklärung!
>
> > - wobei ich die Schreibweise [mm]y-f(a)=f'(a)*(x-a)[/mm] besser und
> > verständlicher finde.
>
> Da stimme ich zu!
>
> Nur noch eine allerletzte Frage. Was für Werte nimmt man
> dann bei x und y?
Wie abakus schon sagt: beliebige...
Es handelt sich um eine Funktionsgleichung. Jedem beliebigen x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet. Hier ist die Funktion sogar umkehrbar, wenn [mm] f'(a)\not=0 [/mm] ist. Man kann dann also einem beliebigen y-Wert auch einen x-Wert zuordnen. Heißt also insgesamt genauer: einer der Werte ist beliebig, der andere damit festgelegt (wie gesagt für [mm] f'(a)\not=0, [/mm] sonst gilt das nur für x beliebig).
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Fr 09.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
Vielen Dank nochmals für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Fr 09.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Verstehe! Danke!
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> Nur noch eine Frage zu dieser Gleichung
> [mm]T:y-b=f'(a)\cdot{}(x-a)[/mm]
> Es will mir einfach nicht in den Kopf was jetzt dieses
> [mm](x-a)[/mm] und [mm]y-b[/mm] bedeutet und darstellt?
Hallo,
(a|b) ist der Berührungspunkt der Tangente.
(x|y) ist ein beliebiger ANDERER Punkt auf der Tangente.
Wenn du zwischen diesen beiden Punkten das Steigungsdreieck aufstellst, gilt für dessen Anstieg:
[mm] $m=\frac{y-b}{x-a}$ [/mm] bzw. (weil m die Ableitung an der Stelle a ist)
[mm] $f'(a)=\frac{y-b}{x-a}$. [/mm] Durch Multiplikation dieser Gleichung mit (x-a) entsteht die Gleichung, die dir so viel Kopfzerbrechen bereitet.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Fr 09.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
Danke auch für diese Erklärung 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Fr 09.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
Danke für die Hilfe!
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