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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Sa 06.10.2012 | | Autor: | timelord |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{4}x^{4}. [/mm] Bestimme die Gleichung der Tangenten vom Punkt A(1/0) (nicht auf dem Graph) an den Graphen der Funktion. |
Gegebend: f(x)= [mm] \bruch{1}{4}x^{4}
[/mm]
Rechnung: [mm] f'(x)=\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{f(1+h)-f(1)}{h} [/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{\bruch{1}{4}(1+h)^{4}-\bruch{1}{4}(1)^{4}}{h} [/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}h^{4}-\bruch{1}{4}}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{\bruch{1}{4}h^{4}}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{h(\bruch{1}{4}h^{3})}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{1}{4}h^{3}
[/mm]
=0
limes:h gegen 0 (die Null steht in der Rechnung nicht hinter dem Pfeil).
Als ich die Parabel skizziert habe, wusste ich, dass die Tangente eine Steigung m>0 haben muss, aber ich kann meinen Fehler nicht finden. Es könnte auch sein, dass mein Ansatz falsch ist. Bitte keine vollständigen Rechnungen, nur Tipps oder Korrekturen zu Ansatz und Rechnung. Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo timelord,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{4}x^{4}.[/mm] Bestimme
> die Gleichung der Tangenten vom Punkt A(1/0) (nicht auf dem
> Graph) an den Graphen der Funktion.
> Gegebend: f(x)= [mm]\bruch{1}{4}x^{4}[/mm]
> Rechnung:
> [mm]f'(x)=\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{f(1+h)-f(1)}{h}[/mm]
> [mm]=\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{\bruch{1}{4}(1+h)^{4}-\bruch{1}{4}(1)^{4}}{h}[/mm]
> [mm]=\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}h^{4}-\bruch{1}{4}}{h}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{\bruch{1}{4}h^{4}}{h}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{h(\bruch{1}{4}h^{3})}{h}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{1}{4}h^{3}[/mm]
> =0
> limes:h gegen 0 (die Null steht in der Rechnung nicht
> hinter dem Pfeil).
> Als ich die Parabel skizziert habe, wusste ich, dass die
> Tangente eine Steigung m>0 haben muss, aber ich kann meinen
> Fehler nicht finden. Es könnte auch sein, dass mein Ansatz
> falsch ist. Bitte keine vollständigen Rechnungen, nur
> Tipps oder Korrekturen zu Ansatz und Rechnung. Danke!
Zunächst ist doch der Punkt (1|0) gegeben, der auf der Tangente liegt.
Dann weisst Du daß der Punkt [mm]\left(x_{0}\left | \right f\left(x_{0}\right) \ \right)[/mm]
auf der Tangente mit Steigung [mm]f'\left(x_{0}\right)[/mm] liegt.
Damit sollte der Punkt [mm]x_{0}[/mm] ermittelt werden können.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Sa 06.10.2012 | | Autor: | timelord |
Hallo Mathe Power,
Vielen Dank für deine Antwort. Deinen Gedankengang verstehe ich. Leider kann ich keine vernünftige Gleichung zur Ermittelung des Punktes [mm] x_{0} [/mm] aufstellen. Könntest du mir hier vllt. noch mal einen kleinen Ansatz geben?
Danke!
Gr. timelord
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Hallo,
du hast die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{4}x^4, [/mm] die Tangente t(x)=m*x+n und den Punkt (1;0), es gilt
(1) [mm] \bruch{1}{4}x^4=m*x+n
[/mm]
(2) [mm] x^3=m
[/mm]
(3) 0=m+n somit n=-m
setze (2) und (3) in (1) ein
[mm] \bruch{1}{4}x^4=x^3*x-x^3
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}x^4=x^4-x^3
[/mm]
[mm] 0=\bruch{3}{4}x^4-x^3
[/mm]
[mm] 0=x^3*(\bruch{3}{4}x-1)
[/mm]
du bekommst die Stellen [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=\bruch{4}{3}
[/mm]
Steffi
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