Tangentialebene < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm]f(x,y)=cos(\wurzel{\pi ^2 -x^2 -y^2})[/mm]; [mm]x^2+y^2\le \pi^2[/mm]; [mm]P_0=( \bruch{\pi}{3}, \bruch{2\pi}{3}, z_0)[/mm]
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an f(x,y) im Punkt [mm]P_0[/mm]
b) Berechnen Sie unter Verwendung der Gleichung für die Tangentialebene einen Näherungswert für z, den man erhalten würde, wenn man [mm]x_0[/mm] um 10% erhöht und [mm]y_0[/mm] gleichzeitig um 10% verringert
c) Welchen Anstieg hat die Tangente an f im Punkt [mm]P_0[/mm] in Richtung des Vektors [mm]\vec a = \begin{pmatrix} \pi \\ \bruch{4\pi}{3} \end{pmatrix}[/mm]
|
Hallo, hab leider nur zu a) 'nen Ansatz:
a)
Tangentialebene:
[mm]z - z_0 = f_x (x_0,y_0) * (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) * (y-y_0)[/mm]
[mm]z_0 = f(x_0,y_0) = cos(\wurzel{\pi ^2 - \bruch{\pi ^2}{9} - \bruch{4\pi ^2}{9} }) = cos(\bruch{2}{3} \pi) = -0,5 [/mm]
[mm] f_x(x,y) = \bruch{ x*sin(\wurzel{\pi ^2-x^2-y^2}) }{ \wurzel{\pi ^2-x^2-y^2} }[/mm]
[mm] f_y(x,y) = \bruch{ y*sin(\wurzel{\pi ^2-x^2-y^2}) }{ \wurzel{\pi ^2-x^2-y^2} }[/mm]
Dann alles eingesetzt in die obere Formel:
[mm]z = \bruch{\wurzel{3}}{4}x + \bruch{\wurzel{3}}{2}y - \bruch{5\wurzel{3}\pi}{12} - 0,5[/mm]
Soweit sollte das stimmen.
b)
Also mit Hilfe des totalen Differentials wüsste ich, wie man das berechnen kann, aber mit der in a) ausgerechneten Formel?
Das tot. Diff. wird ja auch über die beiden partiellen Ableitungen berechnet, evtl heißt das nur, dass man die beiden verwenden soll aus a) ? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Wenn man es doch mit der Tangentialebene berechnen kann, wäre nett, wenn Ihr mir das erklären könntet, wie.
c)
Also Anstieg der Tangente über [mm]f_x[/mm] bzw. [mm]f_y[/mm] geht ja, aber das ist ja nur in Richtung der Koordinatenachsen
(müsste ja den Vektoren: [mm]\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}[/mm] bzw. [mm]\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}[/mm] entsprechen ?)
Ich vermute mal, dass kann man sich dann aus den beiden zusammensetzen/herleiten, leider hab ich keine Ahnung, wie genau das funktioniert (und im Script nichts zu dem speziellen Fall gefunden). ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Grüße & Danke nitramGuk
Frage in keinem anderem Forum gestellt.
|
|
| |
|
Hallo nitramGuk,
> [mm]f(x,y)=cos(\wurzel{\pi ^2 -x^2 -y^2})[/mm]; [mm]x^2+y^2\le \pi^2[/mm];
> [mm]P_0=( \bruch{\pi}{3}, \bruch{2\pi}{3}, z_0)[/mm]
> a) Bestimmen
> Sie die Gleichung der Tangentialebene an f(x,y) im Punkt
> [mm]P_0[/mm]
> b) Berechnen Sie unter Verwendung der Gleichung für die
> Tangentialebene einen Näherungswert für z, den man erhalten
> würde, wenn man [mm]x_0[/mm] um 10% erhöht und [mm]y_0[/mm] gleichzeitig um
> 10% verringert
> c) Welchen Anstieg hat die Tangente an f im Punkt [mm]P_0[/mm] in
> Richtung des Vektors [mm]\vec a = \begin{pmatrix} \pi \\ \bruch{4\pi}{3} \end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo, hab leider nur zu a) 'nen Ansatz:
>
> a)
>
> Tangentialebene:
>
> [mm]z - z_0 = f_x (x_0,y_0) * (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) * (y-y_0)[/mm]
>
> [mm]z_0 = f(x_0,y_0) = cos(\wurzel{\pi ^2 - \bruch{\pi ^2}{9} - \bruch{4\pi ^2}{9} }) = cos(\bruch{2}{3} \pi) = -0,5[/mm]
>
> [mm]f_x(x,y) = \bruch{ x*sin(\wurzel{\pi ^2-x^2-y^2}) }{ \wurzel{\pi ^2-x^2-y^2} }[/mm]
>
> [mm]f_y(x,y) = \bruch{ y*sin(\wurzel{\pi ^2-x^2-y^2}) }{ \wurzel{\pi ^2-x^2-y^2} }[/mm]
>
> Dann alles eingesetzt in die obere Formel:
>
> [mm]z = \bruch{\wurzel{3}}{4}x + \bruch{\wurzel{3}}{2}y - \bruch{5\wurzel{3}\pi}{12} - 0,5[/mm]
>
> Soweit sollte das stimmen.
Hier stimmt alles. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b)
>
> Also mit Hilfe des totalen Differentials wüsste ich, wie
> man das berechnen kann, aber mit der in a) ausgerechneten
> Formel?
> Das tot. Diff. wird ja auch über die beiden partiellen
> Ableitungen berechnet, evtl heißt das nur, dass man die
> beiden verwenden soll aus a) ?
> Wenn man es doch mit der Tangentialebene berechnen kann,
> wäre nett, wenn Ihr mir das erklären könntet, wie.
Nun, setze für x den um 10 % erhöhten Wert gegenüber [mm]x_{0}[/mm]
und für y den um 10 % erniedrigten Wert gegenüber [mm]y_{0}[/mm] in die
Gleichung der Tangentialebene ein.
>
> c)
>
> Also Anstieg der Tangente über [mm]f_x[/mm] bzw. [mm]f_y[/mm] geht ja, aber
> das ist ja nur in Richtung der Koordinatenachsen
> (müsste ja den Vektoren: [mm]\begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> bzw. [mm]\begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}[/mm] entsprechen ?)
>
> Ich vermute mal, dass kann man sich dann aus den beiden
> zusammensetzen/herleiten, leider hab ich keine Ahnung, wie
> genau das funktioniert (und im Script nichts zu dem
> speziellen Fall gefunden).
>
> Grüße & Danke nitramGuk
>
> Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
hier