Tangentialebene in Punkt P < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Mi 10.08.2011 | | Autor: | Haiza |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Tangentialebene in Punkt $ P $ :
$ P=( 0;1;1 ) $.
$ [mm] z=(x^2+y^2)*e^{-x} [/mm] $ |
Hallo,
leider habe ich da gar keinen Ansatz zu, wie ich das beginnen sollte.
Hat jemand Ansätze und Tipps?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Mi 10.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Tangentialebene in Punkt [mm]P[/mm] :
> [mm]P=( 0;1;1 ) [/mm].
> [mm]z=(x^2+y^2)*e^{-x}[/mm]
> Hallo,
> leider habe ich da gar keinen Ansatz zu, wie ich das
> beginnen sollte.
Schau Dir das an:
http://hschaefer.fto.de/hm2/node17.html
FRED
> Hat jemand Ansätze und Tipps?
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Mi 10.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Also wenn ich ehrlich bin, verstehe ich nicht viel auf der Seite.
Ich habe nun die Gleichung einmal nach x abgeleitet und einmal nach y.
Wie gehe ich weiter vor?
Gruß
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Hallo Haiza,
> Also wenn ich ehrlich bin, verstehe ich nicht viel auf der
> Seite.
> Ich habe nun die Gleichung einmal nach x abgeleitet und
> einmal nach y.
Damit ist der Hauptteil der Arbeit getan.
Nun setze das einfach in eine der Formen ein.
Die erste oder zweite bieten sich doch an, da musst du es nur noch hinschreiben.
Beachte: dein Punkt ist [mm] $P=(x_0,y_0,f(x_0,y_0))=(0,1,1)$
[/mm]
> Wie gehe ich weiter vor?
Setze stumpf ein!
>
> Gruß
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mi 10.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Also wenn cih stumpf einsetzte und das vond ir richtig verstanden habe sieht das wie folgt aus:
Die Ableitung nach y sieht so aus:
$ [mm] z_y [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] y [mm] \cdot e^{-x} [/mm] $
$ 1 = 2 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot e^{-1} [/mm] $
$ 1 = 2 [mm] \cdot [/mm] 0,368 $
$ 1 = 0,736 $
Also irgendwas stimmt da nicht :-( Vorallem steht in der Lösung keine Zahl sondern eine Gleichung:
$ z = -x+2y-1 $
Verstehe das nicht so recht.
Gruß
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Hallo nochmal,
> Also wenn cih stumpf einsetzte und das vond ir richtig
> verstanden habe sieht das wie folgt aus:
>
> Die Ableitung nach y sieht so aus:
>
> [mm]z_y = 2 \cdot y \cdot e^{-x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dann ist [mm]z_y(x_0,y_0)=z_y(0,1)=2\cdot{}1\cdot{}e^0=2[/mm]
Und [mm]z_y[/mm] heißt im link [mm]f_y[/mm]
> [mm]1 = 2 \cdot 1 \cdot e^{-1}[/mm]
Wieso linkerhand 1?
Du musst das an der gegebenen Stelle [mm](x_0,y_0)=(0,1)[/mm] auswerten
> [mm]1 = 2 \cdot 0,368[/mm]
>
> [mm]1 = 0,736[/mm]
>
> Also irgendwas stimmt da nicht :-(
Analog mit [mm]f_x[/mm]
Dann richtig einsetzen.
Was ist [mm]f(x_0,y_0)[/mm]? Was [mm]f_x(x_0,y_0)[/mm]? Was [mm]f_y(x_0,y_0)[/mm]?
Was ist nochmal [mm](x_0,y_0)[/mm] ?
> Vorallem steht in der
> Lösung keine Zahl sondern eine Gleichung:
> [mm]z = -x+2y-1[/mm]
Ja, in gewohnter Ebenendarstellung: [mm]x-2y+z=-1[/mm]
Das kommt direkt raus mit Variante 2 ...
>
> Verstehe das nicht so recht.
>
> Gruß
Dranbleiben ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mi 10.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Das ist mir ja jetzt schon peinlich, aber jetzt verstehe ich noch so wenig, dass ich nicht mal mehr weiß, wo ich anfangen soll zu fragen.
Ich versuche es trotzdem.
Das ist also korrekt und damit "arbeiten" wir:
$ [mm] z_y [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] y [mm] \cdot e^{-x} [/mm] $
Also $ [mm] x_0 [/mm] $ und $ [mm] y_0 [/mm] $ eingesetzt ergibt für $ [mm] z_y [/mm] $ folgendes:
$ [mm] z_y(x_0,y_0)=z_y(0,1)=2\cdot{}1\cdot{}e^0=2 [/mm] $
Hier beginnt schon das Fragezeichen über meinem Kopf zu leuchten. Was sagt mir nun die errechnete 2 ?
> Analog mit [mm]f_x[/mm]
>
> Dann richtig einsetzen.
>
> Was ist [mm]f(x_0,y_0)[/mm]? Was [mm]f_x(x_0,y_0)[/mm]? Was [mm]f_y(x_0,y_0)[/mm]?
>
> Was ist nochmal [mm](x_0,y_0)[/mm] ?
Puh, weiß nicht was du mir damit sagen willst, bzw worauf du mich vesuchst zu bringen.
> Ja, in gewohnter Ebenendarstellung: [mm]x-2y+z=-1[/mm]
Wie kommst du nun dahin? Es ist die Lösunga us dem Lösungsbuch umgeformt, aber wie kommst du mit dem oben errechneten hier hin?
> Das kommt direkt raus mit Variante 2 ...
Welche Variante 2?
Ein Haufen Fragen, aber ich habe sie versuchst einigermaßen gut zu definieren und zu formulieren.
Gruß und Danke für das Verständnis!
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Hallo nochmal,
> Das ist mir ja jetzt schon peinlich, aber jetzt verstehe
> ich noch so wenig, dass ich nicht mal mehr weiß, wo ich
> anfangen soll zu fragen.
> Ich versuche es trotzdem.
>
> Das ist also korrekt und damit "arbeiten" wir:
> [mm]z_y = 2 \cdot y \cdot e^{-x}[/mm]
> Also [mm]x_0[/mm] und [mm]y_0[/mm] eingesetzt
> ergibt für [mm]z_y[/mm] folgendes:
> [mm]z_y(x_0,y_0)=z_y(0,1)=2\cdot{}1\cdot{}e^0=2[/mm]
> Hier beginnt schon das Fragezeichen über meinem Kopf zu
> leuchten. Was sagt mir nun die errechnete 2 ?
Das ist der Funktionswert der partiellen Ableitung nach $y$ an der Stelle [mm](0,1)[/mm]
>
> > Analog mit [mm]f_x[/mm]
> >
> > Dann richtig einsetzen.
> >
> > Was ist [mm]f(x_0,y_0)[/mm]? Was [mm]f_x(x_0,y_0)[/mm]? Was [mm]f_y(x_0,y_0)[/mm]?
> >
> > Was ist nochmal [mm](x_0,y_0)[/mm] ?
>
> Puh, weiß nicht was du mir damit sagen willst, bzw worauf
> du mich vesuchst zu bringen.
Na, im link von Fred steht doch unter Variante 2, dass die Tangentialebene in Koordinatenform so lautet:
[mm]z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)[/mm]
Nun ist mit [mm]f_x, f_y[/mm] gemeint [mm]z_x[/mm] und [mm]z_y[/mm]
Es ist [mm](x_0,y_0)=(0,1)[/mm] und [mm]f(x_0,y_0)=f(0,1)=1[/mm]
Dann hast du schon [mm]f_y(x_0,y_0)=f_y(0,1)=2[/mm] (oder in deiner Notation [mm]z_y(0,1)=2[/mm])
Fehlt noch [mm]f_x(0,1)[/mm] bzw. [mm]z_x(0,1)[/mm] ...
Dann einsetzen in die Formel ...
>
> > Ja, in gewohnter Ebenendarstellung: [mm]x-2y+z=-1[/mm]
>
> Wie kommst du nun dahin?
Einfach eingesetzt und ausgerechnet
> Es ist die Lösunga us dem
> Lösungsbuch umgeformt, aber wie kommst du mit dem oben
> errechneten hier hin?
>
>
> > Das kommt direkt raus mit Variante 2 ...
>
> Welche Variante 2?
Koordinatenform --> siehe link
>
> Ein Haufen Fragen, aber ich habe sie versuchst
> einigermaßen gut zu definieren und zu formulieren.
>
> Gruß und Danke für das Verständnis!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Fr 12.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Halli Hallo,
ich hatte die Frage ganz vergessen. Huch.
So habe mich grad nochmal beschäftigt.
$ [mm] z_x=(-x^2+2x-y^2) \cdot [/mm] e^-x $
$ [mm] z_y=2y \cdot [/mm] e^-x $
P=(0;1;1)
$ [mm] z_x=-1 [/mm] $
$ [mm] z_y=2 [/mm] $
Eingesetzt in:
$ [mm] z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0) [/mm] $
ergibt das nach meinen "Berechnungen":
$ z=1-x+2y $
Das weicht aber ab von deiner Lösung:
$ x-2y+z=-1 $
Zumindest habe ich mein hin und her gedreht aber die Vorzeichen stimmten nie mit deinen überein. Auch nicht wenn ich Zahlenwerte zur probe einsetzte.
Gruß
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Hallo nochmal,
> Halli Hallo,
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> ich hatte die Frage ganz vergessen. Huch.
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> So habe mich grad nochmal beschäftigt.
> [mm]z_x=(-x^2+2x-y^2) \cdot e^-x[/mm]
> [mm]z_y=2y \cdot e^-x[/mm]
> P=(0;1;1)
>
> [mm]z_x=-1[/mm]
> [mm]z_y=2[/mm]
>
> Eingesetzt in:
> [mm]z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)[/mm]
> ergibt das nach meinen "Berechnungen":
> [mm]z=1-x+2y[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm] $y_0=1$, [/mm] hinten steht also [mm] $f_y(0,1)(y-1)=2(y-1)=2y\red{-2}$
[/mm]
Also $z=1-x+2y-2=-x+2y-1$
> Das weicht aber ab von deiner Lösung:
> [mm]x-2y+z=-1[/mm]
> Zumindest habe ich mein hin und her gedreht aber die
> Vorzeichen stimmten nie mit deinen überein. Auch nicht
> wenn ich Zahlenwerte zur probe einsetzte.
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Fr 12.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Daaaaaaaaaaaanke!
Gruß
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