Tangentialebenenpunkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Do 02.08.2007 | | Autor: | kaber |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Punkte der Fläche [mm]K: x^{2}+2y^{2}+3^{2}=1[/mm], für die die zugehörige Tangentialebene parallel zu [mm]E: x+y+z=1[/mm] liegt. Skizzieren Sie die Fläche K. |
Und wieder mal ein Problem zu einer Klausuraufgabe :)
Also parallel bedeutet ja, dass das Kreuzprodukt der "Normalen" gleich Null sein muss. Entweder ich habe die Normalen falsch oder die Aufgabe lässt sich nicht lösen.
Ich bin wie folgt vorgegangen:
Die Normale der Ebene ist ja [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm], oder nicht?
Die Normale der Fläche K ist [mm]gradK=\begin{pmatrix} 2x \\ 4y \\ 6z \end{pmatrix}[/mm]
Wenn ich daraus das Kreuzprodukt bilde und gleich Null setze, entsteht ein Gleichungssystem für [mm]x_0,y_0,z_0[/mm] , dass keine Lösungen hat.
Vielen Dank schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Do 02.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da die Fläche ein Ellipsoid ist hat sie sicher Tangentialebenen in jeder Richtung!
was du falsch gerechnet hast kann man natürlich nicht sehen, wenn dus nicht aufschreibst.
hast du vergessen, dass der pkt auch auf K liegen muss?
was heisst keine Lösung? zu viele?
ich wür grad parallel der Normalen nehmen also 2x=4y=6z
alles nach etwa y auflösen und in K einsetzen.
du musst 2 Punkte rauskriegen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Do 02.08.2007 | | Autor: | kaber |
> hast du vergessen, dass der pkt auch auf K liegen muss?
Da die Ebene ja nur eine Normale besitzt, muss ich den Punkt auf der Ellipse finden, in dem die Tangentialebene parallel zu steht.
Ich suche ja die Punkte auf der Ellipse.
> was heisst keine Lösung? zu viele?
D.h. [mm]0=0[/mm] kommt im Gleichungssystem heraus.
> ich wür grad parallel der Normalen nehmen also 2x=4y=6z
> alles nach etwa y auflösen und in K einsetzen.
> du musst 2 Punkte rauskriegen.
Verstehe ich nicht ganz, könntest du das nochmal konkretisieren?
Vielen dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Do 02.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. schreib doch mal deine Rechung auf!
2. parallel heisst doch dass [mm] gradk=\vektor{a \\ a \\ a } [/mm] sein muss . dh. die Gleichung, die ich geschrieben hab.
daraus x=2y, z=2/3*y. in K eingestzt gibt [mm] y=\pm\wurzel{..}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:51 Do 02.08.2007 | | Autor: | kaber |
[mm]n_0=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] der Ebene
[mm]n_0=\begin{pmatrix} 4x_0 \\ 4y_0 \\ 6z_0 \end{pmatrix}[/mm] der Tangentialebene (habe die Werte gerade nicht zur Hand) im Punkt [mm]M_0=(x_0,y_0,z_0)[/mm]
[mm]En_0[/mm] x [mm]Tn_0 = 0[/mm]
Aus diesem Kreuzprodukt entsteht, wenn ich das gleich Null setze ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen für 3 Unbekannte.
Aber es gibt keine Lösung dieses Gleichungssystem
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Do 02.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
nochmal: schreib deine Gleichungen auf, dann suchen wir den Fehler. ich hab nicht 0 raus sondern einen der Werte beliebig, die anderen daraus berechnet!
gruss leduart
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Also mal so rein geometrisch gedacht, würde ich sagen, dass zwei Ebenen im dreidimensionalen Raum genau dann parallel sind, wenn die Normalen kolinear sind, oder? Und dann wär's ja fast trivial...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Do 02.08.2007 | | Autor: | kaber |
Also zu der Rechnung folgendes:
T: [mm] x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1
[/mm]
[mm]E: x+y+z=1[/mm]
[mm]T_M: 2x_0(x-x_0)+4y_0(y-y_0)+6z_0(z-z_0)=0[/mm]
[mm]\vec n_T=gradF_T(x_0,y_0,z_0)=\begin{pmatrix} 2x_0 \\ 4y_0\\ 6z_0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec n_E=gradF_E(x_0,y_0,z_0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec n_T[/mm] x [mm]\vec n_E=0[/mm] Dann sind Sie parallel (oder nicht?)
[mm]\begin{pmatrix} 2x_0 \\ 4y_0\\ 6z_0 \end{pmatrix}[/mm] x [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2x_0-6z_0 \\ 6z_0-2X_0\\ 2x_0-2y_0 \end{pmatrix}[/mm]= [mm]0[/mm]
Aber das Gleichungssystem was dort herauskommt, lässt sich nicht lösen ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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> Also zu der Rechnung folgendes:
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> T: [mm]x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1[/mm]
>
> [mm]E: x+y+z=1[/mm]
>
> [mm]T_M: 2x_0(x-x_0)+4y_0(y-y_0)+6z_0(z-z_0)=0[/mm]
>
> [mm]\vec n_T=gradF_T(x_0,y_0,z_0)=\begin{pmatrix} 2x_0 \\ 4y_0\\ 6z_0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec n_E=gradF_E(x_0,y_0,z_0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec n_T[/mm] x [mm]\vec n_E=0[/mm] Dann sind Sie parallel (oder nicht?)
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2x_0 \\ 4y_0\\ 6z_0 \end{pmatrix} x
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_0-6z_0 \\ 6z_0-2X_0\\ 2x_0-2y_0 \end{pmatrix}= 0[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Richtig wäre:
[mm]\vektor{2x_0 \\ 4y_0\\ 6z_0}\times\vektor{1\\1\\1}=\vektor{\red{4y_0-6z_0}\\6z_0 -2x_0\\2x_0-4y_0}[/mm]
>
> Aber das Gleichungssystem was dort herauskommt, lässt sich
> nicht lösen
Dein Vektorprodukt ist meiner Meinung nach falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Do 02.08.2007 | | Autor: | kaber |
Ja sorry, habs kopiert oder so 
Mhh dann bin einfach zu dumm ein Gleichungssystem zu lösen.
Da ja nach Punkte gefragt ist, müsste das die Lösung sein.
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Do 02.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hast du den allg. Punkt in K eingesetzt? es gibt genau 2 Punkte!
Gruss leduart
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Hallo,
habe ich das jetzt richtig verstanden, das Gleichungssystem geht auf, wenn es Null wird, also wenn ich die beiden ersten Gleichungen aufgelöst habe und dann in die dritte einsetze, ergibt diese dann null? Ich verstehe nicht so ganz, wofür dieser Schritt benötigt wird. Eigendlich reicht es doch aus, wenn das gemacht wird, was "generation...x" sagt oder sehe ich das völlig falsch?
mfg
neon.copy
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> Hallo,
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> habe ich das jetzt richtig verstanden, das Gleichungssystem
> geht auf, wenn es Null wird, also wenn ich die beiden
> ersten Gleichungen aufgelöst habe und dann in die dritte
> einsetze, ergibt diese dann null? Ich verstehe nicht so
> ganz, wofür dieser Schritt benötigt wird.
Es war nötig zu zeigen, dass die dritte Gleichung auch erfüllt ist: und zwar für alle Lösungen des Systems, das nur aus den anderen beiden Gleichungen besteht. Es hätte durchaus sein können, dass die dritte Gleichung erzwingt, dass das (homogen-)lineare System nur die triviale Lösung hat. Man kann also die dritte Gleichung nicht einfach ignorieren (ich denke, dies ist im Grunde auch allen Beteiligten völlig klar - Dich eingeschlossen).
> Eigendlich reicht
> es doch aus, wenn das gemacht wird, was "generation...x"
> sagt oder sehe ich das völlig falsch?
Mag sein, aber ich hatte eben versucht, kaber an einem Punkt "abzuholen", an dem er in Schwierigkeiten geraten war: beim Lösen eines linearen Gleichungssystems.
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Nochmal dazu, was generation...x geschrieben hat:
$ [mm] \vektor{2x \\ 4y \\ 6z} [/mm] = c [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \gdw \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = c [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1}, \wedge [/mm] c [mm] \not= [/mm] 0 $
wird das so gelöst? müsste es nicht so aussehen:
$ [mm] \vektor{2x \\ 4y \\ 6z} [/mm] = c [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \gdw \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = c [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 6}, \wedge [/mm] c [mm] \not= [/mm] 0 $
Und das andere dann auch jeweils so geändert?
mfg
neoncopy
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> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
>
> Nochmal dazu, was generation...x geschrieben hat:
>
> [mm]\vektor{2x \\ 4y \\ 6z} = c \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \gdw \vektor{x \\ y \\ z} = c \vektor{3 \\ 2 \\ 1}, \wedge c \not= 0[/mm]
>
> wird das so gelöst?
Nein, denn die Vektorgleichung links von der Äquivalenz [mm] $\gdw$ [/mm] ist ja, koordinatenweise betrachtet, nichts anderes als das System bestehend aus den drei Gleichungen $2x=c$, $4y=c$ und $6z=c$. Woraus sogleich folgt, dass [mm] $x=\frac{c}{2}$, $y=\frac{c}{4}$ [/mm] und [mm] $z=\frac{c}{6}$. [/mm] Richtig wäre also, meiner unmassgeblichen Meinung nach:
[mm]\vektor{2x \\ 4y \\ 6z} = c \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \gdw \vektor{x \\ y \\ z} = c \vektor{\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} \\ \frac{1}{6}}, \wedge c \not= 0[/mm]
Sofern man auf der rechten Seite der Äquivalenz eine andere Konstante, sagen wir $c' := [mm] \frac{c}{12}$ [/mm] einführt, dann könnte man dies auch so schreiben:
[mm]\vektor{2x \\ 4y \\ 6z} = c \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \gdw \vektor{x \\ y \\ z} = c' \vektor{6 \\ 3 \\ 2}, \wedge c, c' \not= 0[/mm]
> müsste es nicht so aussehen:
>
> [mm]\vektor{2x \\ 4y \\ 6z} = c \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \gdw \vektor{x \\ y \\ z} = c \vektor{2 \\ 4 \\ 6}, \wedge c \not= 0[/mm]
Uh, nein, denn, wie oben erläutert, besagt die linke Seite der Äquivalenz, dass [mm] $x=\frac{c}{2}$, $y=\frac{c}{4}$ [/mm] und [mm] $z=\frac{c}{6}$ [/mm] ist. Aber die rechte Seite Deiner Äquivalenz besagt ja, dass $x=2c$, $y=4c$ und $z=6c$ sei: doch entschieden nicht das selbe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:28 Mo 06.08.2007 | | Autor: | neon.copy |
Nochmal vielen Dank für die schnelle Antwort!
Beim Auflösen der Gleichungen habe ich wohl etwas geschlafen, sehe das auch gerade das das völliger Blödsinn war, was ich da "gerechnet" habe *g*. Habs jetzt verstanden
Also nochmal Danke für die SUPER Hilfe und vorallem für die Mühe!
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Um meinen Punkt nochmal auszuführen: Wenn die beiden Normalen kolinear sind, dann sollte gelten
[mm]\vektor{2x \\ 4y \\ 6z} = c \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \gdw \vektor{x \\ y \\ z} = c \vektor{3 \\ 2 \\ 1}, \wedge c \not= 0 [/mm]
Das ist (bis auf den Nullpunkt) die Gleichung einer Geraden. Diese Gerade wird das Ellipsoid K in zwei Punkten schneiden. Einsetzen ergibt:
[mm](3c)^2+2(2c)^2+3(c)^2=1 \gdw (9+8+3)c^2 = 1 \gdw c= \pm \wurzel{\bruch{1}{20}}[/mm]
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
