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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Di 08.11.2016 | | Autor: | kai1992 |
Hallo zusammen,
wir haben in der Vorlesung vor Kurzem den Tangentialraum in einem Punkt p einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit definiert.
Wir verwenden folgendes Skript:
https://www.dropbox.com/sh/nqtcl635u0hkxzv/AAAFXh7SnkRCP8GIj6oM_Za-a/Skript?dl=0&preview=diffgeo-skrip2016.pdf
Ich habe eine Frage zu dieser Definition des Tangentialraumes auf Seite 13ff.
Zuerst definiert man auf S. 13 den Tangentialraum als [mm] T_{p}M [/mm] := { [mm] \dot\gamma(0) [/mm] | [mm] \gamma: (-\epsilon,\epsilon) \rightarrow [/mm] M differenzierbar und [mm] \dot\gamma(0)=p [/mm] } für Mannigfaltigkeiten M [mm] \subseteq \IR^{n}. [/mm] Alles klar, so weit so gut.
Auf S. 14 wird dann gesagt, dass nicht jede Mannigfaltigkeit kanonisch in [mm] \IR^{n} [/mm] eingebettet werden kann (Zwischenfrage: Geht das eigentlich nicht doch nach dem Satz von Whitney in Bemerkung (3) auf S. 10?). Daher definiert man dann eine Äquivalenzrelation auf der Menge der differenzierbaren Kurven { [mm] \gamma: (-\epsilon,\epsilon) \rightarrow [/mm] M differenzierbar und [mm] \dot\gamma(0)=p [/mm] } wie angegeben. Danach definiert man nur nochmals den Tangentialraum für Mannigfaltigkeiten "allgemein". Dieses Mal ist [mm] T_{p}M [/mm] die Menge der Äquivalenzklassen obiger Äquivalenzrelation.
Und genau das gibt jetzt für mich keinen Sinn. Angenommen, wir haben eine Mannigfaltigkeit M [mm] \subseteq \IR^{n}.
[/mm]
Nach der ersten Definition ist ein Element in [mm] T_{p}M [/mm] nun ein Element in [mm] \IR^{n}, [/mm] da es von der Form [mm] \dot\gamma(0) [/mm] ist (eine Art "Geschwindigkeitsvektor").
Nach der zweiten Definition ist ein Element in [mm] T_{p}M [/mm] jetzt aber eine Äquivalenzklasse [mm] [\gamma], [/mm] wobei [mm] \gamma: (-\epsilon,\epsilon) \rightarrow [/mm] M differenzierbar und [mm] \dot\gamma(0)=p [/mm] ist.
Wie passt das zusammen? Ich verstehe hier den Zusammenhang der beiden (unterschiedlichen?) Definitionen des Tangentialraumes nicht.
Zudem: Was bedeutet es, dass [mm] \gamma: (-\epsilon,\epsilon) \rightarrow [/mm] M differenzierbar ist? Im Sinne von Mannigfaltigkeiten würde dies doch bedeuten, dass x [mm] \circ \gamma [/mm] : [mm] (-\epsilon,\epsilon) \rightarrow \IR^{n} [/mm] differenzierbar ist im Sinne der Analysis, wobei (U,x) eine Karte um p [mm] \in [/mm] M ist.
Ist wiederum M [mm] \subeseteq \IR{n}, [/mm] ist dann mit der Differenzierbarkeit von [mm] \gamma: (-\epsilon,\epsilon) \rightarrow [/mm] M gemeint, dass [mm] \gamma [/mm] als Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten differenzierbar ist (also im eben beschriebenen Sinne) oder fasst man dann M als Teilmenge von [mm] \IR^{n} [/mm] auf und differenziert nach t im Sinne der Analysis, d.h. man betrachtet [mm] \dot\gamma [/mm] ?
Vielen Dank für eure Hilfe, stehe hier total auf dem Schlauch.
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Guten Abend, kai1992! 
Der Satz von Whitney gilt nur für Mannigfaltigkeiten in einem strikteren Sinne, nämlich solche, deren unterliegender topologischer Raum zusätzlich zweitabzählbar und hausdorffsch ist. Fordert man das nicht, hat man offensichtliche Gegenbeispiele, zum Beispiel diskrete Mannigfaltigkeiten von zu großer Mächtigkeit. Meiner bescheidenen Meinung nach ist hausdorffsch alleine zu schwach und zusätzliche Zweitabzählbarkeit zu stark. Eine gute Definition wäre hausdorffsch + parakompakt, denn das ist genau, was man später in der Theorie benötigt, um starke Sätze beweisen zu können. Die grundlegenden Sätze und Konstruktionen benötigen nicht einmal die Hausdorff-Eigenschaft.
Die erste Definition des Tangentialraums ist einfach falsch, beziehungsweise unvollständig. Es kommt erst etwas Brauchbares heraus, wenn man die Äquivalenzrelation herausteilt. Der Sinn der Äquivalenzrelation ist, dass Kurven, welche am Punkt $p$ in dieselbe Richtung zeigen, identifiziert werden, damit wirklich das übrig bleibt, was man sich als Vektor, der an $p$ angelegt wird, vorstellt.
Ein [mm] $\gamma$ [/mm] soll differenzierbar im Sinne von Mannigfaltigkeiten sein. Legt man eine Karte um den Punkt $p$, so lässt sich diese Differenzierbarkeit auf den Differenzierbarkeitsbegriff der Analysis zurückführen. Falls $M$ global euklidisch ist, dient eben $M$ selbst als Karte.
Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin
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